Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy )
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy )
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
a Ta có 4x2 - 4x + 3 = (4x2 - 4x + 1) + 2 = (2x - 1)2 + 2 \(\ge\)2 > 0 (đpcm)
b) Ta có y - y2 - 1
= -(y2 - y + 1)
= -(y2 - y + 1/4) - 3/4
= -(y - 1/2)2 - 3/4 \(\le-\frac{3}{4}< 0\)(đpcm)
a) 4x2 - 4x + 3 = ( 4x2 - 4x + 1 ) + 2 = ( 2x - 1 )2 + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ( đpcm )
b) y - y2 - 1 = -( y2 - y + 1/4 ) - 3/4 = -( y - 1/2 ) - 3/4 ≤ -3/4 < 0 ∀ x ( đpcm )
\(A=x\left(x-6\right)+10=x^2-6x+10\)
\(=\left(x-3\right)^2+1>0\) với mọi x
\(B=x^2-2x+9y^2-6y+3=\left(x^2-2x+1\right)+\left(9y^2-6y+1\right)+1\)
\(=\left(x-1\right)^2+\left(3y-1\right)^2+1>0\) với mọi x;y
\(a;x^2-3x+3=x^2-2\cdot\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+3\)
\(=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\forall x\Leftrightarrow x^2-3x+3>0\forall x\)
x4-2x+2
= (x2)2-2x2+1+2x2-2x+1
=(x2-1)2+2(x2-x+1)
=(x2-1)2+2(x2-2.1/2x+1/4+1/4)
=(x2-1)2+2[(x-1/2)2+1/4]
vì (x2-1)2 lớn hơn hoặc = 0 với mọi x và 2[(x-1/2)2+1/4] lớn hơn hoặc = 0 với mọi x
nên (x2-1)2+2[(x-1/2)2+1/4] dương hay x4-2x+2 dương
a) 9x2 - 6x + 2 = (3x)2 - 2.3x.1 + 12 + 1 = (3x - 1)2 + 1 mà\(\left(3x+1\right)^2\ge0\Rightarrow\left(3x+1\right)^2+1\ge1>0\)
b) x2 + x + 1 = x2 + 2.x.\(\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)mà\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\)
c) 2x2 + 2x + 1 =\(\left(\sqrt{2}x\right)^2+2\sqrt{2}x.\frac{1}{\sqrt{2}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\frac{1}{2}=\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}>0\)
a) \(9x^2-6x+2=\left(\left(3x\right)^2-2.3x.1+1\right)+1=\left(3x-1\right)^2+1>0\)
b) .\(x^2+x+1=\left(\left(x^2\right)+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
c) \(2x^2+2x+1=x^2+\left(x^2+2x+1\right)=x^2+\left(x+1\right)^2>0\)
Em kiểm tra lại đề bài nhé vì:
\(Q=\left(x^3.x.y^n.y-\frac{1}{2}x^3.y^n.y^2\right):\frac{1}{2}x^3y^n-\left(4.5.x^2.x^2.y\right):\left(5x^2y\right)\)
\(=x^3y^n\left(xy-\frac{1}{2}y^2\right):\frac{1}{2}x^3y^n-5x^2y\left(4x^2\right):5x^2y\)
\(=2xy-y^2-4x^2=-\left(x^2-2xy+y^2\right)-3x^2=-\left[\left(x-y\right)^2+3x^2\right]< 0\)Với mọi x, y khác 0
=> Q luôn có gia trị âm với mọi x, y khác 0.
\(\text{a, Ta có :}\) \(M=\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)+16\)
\(\text{Đặt }a=x^2+10x+16\)
\(\text{Ta có: }M=a\left(a+8\right)+16=a^2+8a+16=\left(a+4\right)^2\)
\(M=\left(x^2+10x+20\right)^2\)
\(\text{b, }\)\(\left|x+1\right|=\left|x\left(x+1\right)\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|x\left(x+1\right)\right|-\left|x+1\right|=0\)
\(\Leftrightarrow\left|x\right|.\left|x+1\right|-\left|x+1\right|=0\)
\(\Rightarrow\left|x+1\right|\left(\left|x\right|-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x+1\right|=0\\\left|x\right|-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)
\(Q\left(x\right)=x^4+2024x^2+2023x+2024\)
\(=x^4+x^2+1+2023x^2+2023x+2023\)
\(=\left(x^4+2x^2+1\right)-x^2+2023\left(x^2+x+1\right)\)
\(=\left(x^2+1+x\right)\left(x^2+1-x\right)+2023\left(x^2+x+1\right)\)
\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+2024\right)\)
\(=\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+2023,75\right]\)
mà \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x;\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+2023,75>0\forall x\)
nên \(Q\left(x\right)>0\forall x\)
Để chứng minh rằng đa thức \(Q \left(\right. x \left.\right) = x^{4} + 2024 x^{2} + 2023 x + 2024\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\), ta cần chứng minh rằng:
\(Q \left(\right. x \left.\right) > 0 \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i} x \in \mathbb{R} .\)
Bước 1: Phân tích dạng của đa thức
Đa thức có dạng:
\(Q \left(\right. x \left.\right) = x^{4} + 2024 x^{2} + 2023 x + 2024.\)
Ta sẽ phân tích giá trị của \(Q \left(\right. x \left.\right)\) theo các phần của đa thức.
Bước 2: Xét giá trị của đa thức tại một số điểm đặc biệt
Tại \(x = 0\):
\(Q \left(\right. 0 \left.\right) = 0^{4} + 2024 \cdot 0^{2} + 2023 \cdot 0 + 2024 = 2024.\)
Vì \(Q \left(\right. 0 \left.\right) = 2024 > 0\), ta thấy rằng \(Q \left(\right. x \left.\right)\) không âm tại \(x = 0\).
Tại \(x \rightarrow \infty\) và \(x \rightarrow - \infty\):
Do đó, khi \(x \rightarrow \infty\) hoặc \(x \rightarrow - \infty\), \(Q \left(\right. x \left.\right)\) luôn dương.
Bước 3: Tìm nghiệm của đa thức
Ta có thể thử một số phương pháp để kiểm tra xem đa thức này có thể có nghiệm âm nào không. Tuy nhiên, một cách đơn giản là nhận thấy rằng vì \(x^{4}\) là bậc cao nhất và có hệ số dương, còn các hạng tử bậc thấp (như \(x^{2} , x\)) không đủ để làm cho đa thức âm đi, ta có thể phỏng đoán rằng \(Q \left(\right. x \left.\right)\) không có nghiệm âm.
Bước 4: Kiểm tra dấu của \(Q \left(\right. x \left.\right)\) bằng đạo hàm
Chúng ta có thể xem xét đạo hàm của \(Q \left(\right. x \left.\right)\) để kiểm tra sự thay đổi của hàm và xem nó có bao giờ giảm xuống âm không.
Đạo hàm của \(Q \left(\right. x \left.\right)\) là:
\(Q^{'} \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4048 x + 2023.\)
Ta có thể giải phương trình \(Q^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\) để tìm các điểm cực trị của hàm số, nhưng vì \(x^{4}\) có hệ số lớn nhất và \(Q \left(\right. x \left.\right) \rightarrow \infty\) khi \(x \rightarrow \infty\) và \(x \rightarrow - \infty\), ta có thể chắc chắn rằng hàm này luôn dương với mọi giá trị của \(x\).
Kết luận:
Vì \(Q \left(\right. x \left.\right)\) luôn dương tại một số giá trị đặc biệt như \(x = 0\), và vì \(x^{4}\) và các hạng tử còn lại không làm cho \(Q \left(\right. x \left.\right)\) âm đi ở bất kỳ điểm nào, ta kết luận rằng:
\(Q \left(\right. x \left.\right) > 0 \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i} x \in \mathbb{R} .\)