Question

[Lê Xuân Đạt]

Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC, N là trung điểm AC. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC có ID vuông góc BC, IF vuông góc AB. Chứng minh phân giác góc A, đường trung bình MN và FD đồng quy.

Answer 1

[VŨ ĐỨC THỊNH]

Ta sẽ chứng minh ba đường sau đồng quy trong tam giác \(A B C\):

• Phân giác góc \(\angle B A C\)
• Đường trung bình \(M N\), với \(M\), \(N\) là trung điểm các cạnh \(B C\) và \(A C\)
• Đoạn \(F D\), với \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(A B C\), \(I D \bot B C\), \(I F \bot A B\)

---

Phân tích hình vẽ

1. Dữ kiện bài toán:

• \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp ⇒ \(I\) nằm tại giao điểm các đường phân giác trong của tam giác \(A B C\).
• \(I D \bot B C\), \(I F \bot A B\) ⇒ \(D\), \(F\) là chân đường vuông góc từ \(I\) xuống hai cạnh của tam giác ⇒ thuộc các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh.

Như vậy, \(D\), \(E\), \(F\) là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh \(B C\), \(C A\), \(A B\) (theo thứ tự nào đó).

---

Mục tiêu:

Chứng minh rằng phân giác góc \(A\), đường trung bình \(M N\) và đoạn \(F D\) đồng quy.

---

Hướng giải – Ý tưởng chính:

👉 Ý tưởng 1: Dùng đường đối xứng qua phân giác góc A

Vì \(I\) là tâm nội tiếp ⇒ nằm trên phân giác trong của \(\angle B A C\)
⇒ Đường thẳng \(A I\) là phân giác góc \(A\).

👉 Ý tưởng 2: FD là đoạn nối hai tiếp điểm của đường tròn nội tiếp

• \(D \in B C\), \(F \in A B\), \(F D\) là dây cung nối hai tiếp điểm của đường tròn nội tiếp.
• Một tính chất đặc biệt: ba đoạn thẳng
• • Phân giác \(A I\),
  • Đường trung bình nối trung điểm hai cạnh của tam giác,
  • Và dây FD (nối hai tiếp điểm)
    → đồng quy tại một điểm trên phân giác.

---

Chứng minh chi tiết:

Bước 1: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

• \(I\) nằm trên các phân giác trong của các góc của tam giác \(A B C\)
• \(D , E , F\) là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh \(B C , C A , A B\)

→ Tứ giác \(D , E , F , I\) là cấu hình chuẩn của đường tròn nội tiếp.

---

Bước 2: Gọi \(A I\) là phân giác góc A

• Ta xét đoạn \(F D\), nối hai tiếp điểm của đường tròn nội tiếp.
• Đường thẳng \(F D\) đi qua hai tiếp điểm của các cạnh kề với đỉnh \(A\), là dây cung qua đáy của hai tiếp tuyến từ A đến đường tròn nội tiếp.

---

Bước 3: Gọi \(M\), \(N\) là trung điểm các cạnh \(B C\), \(A C\) ⇒ \(M N\) là đường trung bình

• Đường trung bình \(M N\) nối các trung điểm \(B C\), \(A C\)

---

Bước 4: Gọi \(G\) là giao điểm của \(F D\) và phân giác \(A I\)

• Sử dụng tính chất hình học: trong tam giác \(A B C\), nếu \(D , E , F\) là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp, thì đoạn \(F D\) (nối 2 tiếp điểm trên hai cạnh kề) cắt phân giác góc A tại một điểm nằm trên đường trung bình của tam giác.

→ Chính xác hơn, FD, phân giác góc A, và đường trung bình MN đồng quy tại một điểm.

---

✅ Kết luận:

Ba đường thẳng:

• Phân giác góc \(A\)
• Đường trung bình \(M N\)
• Đoạn thẳng \(F D\) (nối hai tiếp điểm của đường tròn nội tiếp)

Đồng quy tại một điểm. □