Question

[NGUYỄN THỊ THU VÂN]

Bài 4. (2,0 điểm)Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AC. Trên đoạn BD lấy điểm E sao cho BE = 2ED. Điểm F thuộc tia đối của tia DE sao BF = 2BE. Gọi K là trung điểm của CF và G là giao điểm của EK và AC.

a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác EFC.

b) Tính các tỉ số GEGK;GCDCGEGK;GCDC.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: BF=2BE

=>E là trung điểm của BF

=>EB=EF

mà EB=2ED

nên EF=2ED

=>D là trung điểm của EF

Xét ΔFEC có

EK,CD là các đường trung tuyến

EK cắt CD tại G

Do đó: G là trọng tâm cùa ΔFEC

b: Xét ΔFEC có

G là trọng tâm

EK là đường trung tuyến

Do đó: \(EG=\dfrac{2}{3}EK\)

=>\(\dfrac{GE}{GK}=2\)

Xét ΔFEC có

G là trọng tâm

CD là đường trung tuyến

Do đó: \(\dfrac{CG}{CD}=\dfrac{2}{3}\)

Answer 2

[Nguyễn Thị Thu Trang]

A. Chứng minh:

• Ta có \(\overset{\rightarrow}{B} = 2 \overset{\rightarrow}{D}\), do BE = 2ED.
• Vì F là điểm đối diện của DE và \(\overset{\rightarrow}{B F} = 2 \overset{\rightarrow}{B E}\), ta có tỷ lệ về vectơ cho các điểm.
• K là trung điểm của CF, suy ra \(\overset{\rightarrow}{C K} = \overset{\rightarrow}{K F}\).
• Giao điểm của các trung tuyến trong tam giác EFC là trọng tâm G. Vì K là trung điểm của CF, nên G chia trung tuyến EK theo tỷ lệ \(2 : 1\) từ E đến K.

Kết luận: G là trọng tâm của tam giác EFC.

B. Tính tỷ số GEGK:

• Vì G là trọng tâm của tam giác EFC, ta có tỷ lệ \(\frac{G E}{G K} = 2\), vì trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỷ lệ 2:1.

Tính tỷ số GCDC:

• G là giao điểm của EK và AC. Do D là trung điểm của AC, ta có \(\frac{G C}{C D} = 2\), vì G nằm trên trung tuyến AC và chia nó theo tỷ lệ 2:1.

Kết luận:

• \(\frac{G E}{G K} = 2\)
• \(\frac{G C}{C D} = 2\)