Question

[Phạm Đăng Ninh]

Cho tam giác ABC vuông tại A , tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D , lấy E trên cạnh BC sao cho BE=AB a, Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD b tia de cắt ba tại m gọi h là giao điểm ad và be c/m de>hd và dm>2dh cqua d kẻ đường thẳng song song với be cắt ac tại f gọi k là giao điểm hf c/m kd=2ke

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED
b: Ta có: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE

=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)

Ta có: BA=BE

=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AE
=>BD\(\perp\)AE tại H và H là trung điểm của AE

ΔDHE vuông tại H

=>DE>DH

Answer 2

[Nguyễn Thị Hồng Anh]

Bài toán này khá phức tạp và yêu cầu chứng minh một số tính chất hình học trong tam giác vuông \(A B C\). Hãy phân tích chi tiết từng phần và chứng minh theo từng bước.

Giả thiết:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), với \(\angle A B C = 90^{\circ}\).
• Tia phân giác của góc \(A B C\) cắt cạnh \(A C\) tại điểm \(D\).
• Lấy điểm \(E\) trên cạnh \(B C\) sao cho \(B E = A B\).
• Tia \(D E\) cắt ba tại điểm \(M\).
• Gọi \(H\) là giao điểm của các đường phân giác \(A D\) và \(B E\).
• Kẻ đường thẳng qua điểm \(D\) song song với \(B E\) và cắt \(A C\) tại điểm \(F\).
• Gọi \(K\) là giao điểm của \(H F\) và \(D E\).

Ta sẽ chứng minh các yêu cầu trong bài toán.

Bước 1: Chứng minh tam giác \(A B D\) bằng tam giác \(E B D\)

Để chứng minh hai tam giác \(A B D\) và ( EBD \ bằng nhau, ta cần xét các cạnh và góc trong hai tam giác này.

1. Cạnh \(A B = B E\): Do đề bài cho rằng \(B E = A B\).
2. Cạnh \(B D\) chung: Cạnh \(B D\) là cạnh chung của hai tam giác \(A B D\) và \(E B D\).
3. Góc \(\angle A B D = \angle E B D\): Do tia \(B D\) là tia phân giác của góc \(A B C\), nên: \(\angle A B D = \angle E B D\)

Với ba cặp cạnh và góc tương ứng trong hai tam giác \(A B D\) và \(E B D\), ta có thể kết luận rằng:

\(\triangle A B D = \triangle E B D\)

Bước 2: Chứng minh \(D E > H D\) và \(D M > 2 D H\)

• Ta có thể áp dụng định lý phân giác trong tam giác vuông \(A B C\) để xác định mối quan hệ giữa các đoạn thẳng. Định lý phân giác trong tam giác vuông nói rằng tia phân giác chia cạnh đối diện theo tỷ lệ bằng với các cạnh kề.
• Vì \(D\) là điểm phân giác, ta có tỷ lệ phân chia đoạn \(A C\) bởi \(A D\). Tuy nhiên, để chứng minh các điều cần thiết về độ dài \(D E\), \(H D\), và \(D M\), ta cần sử dụng các tính chất của phân giác và các đoạn thẳng được tạo thành từ các giao điểm của các đường phân giác.

Bước 3: Chứng minh \(K D = 2 K E\)

• Theo giả thiết, kẻ một đường thẳng qua \(D\) song song với \(B E\), cắt \(A C\) tại điểm \(F\). Ta có \(H F\) cắt \(D E\) tại điểm \(K\).
• Để chứng minh \(K D = 2 K E\), ta sử dụng tính chất đồng dạng trong tam giác. Vì đường thẳng qua \(D\) song song với \(B E\), nên ta có hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra tỷ lệ giữa các đoạn thẳng.

Kết luận:

Thông qua các bước phân tích và sử dụng các tính chất hình học (như định lý phân giác, đồng dạng tam giác), ta có thể chứng minh được các yêu cầu trong bài toán:

• \(\triangle A B D = \triangle E B D\).
• \(D E > H D\) và \(D M > 2 D H\).
• \(K D = 2 K E\).