Question

[Châu Pha Nguyễn Thị]

Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là AD,BE,CF. Chứng minh rằng:3/4 (AB+BC+CA)<AD+BE+CF<AB+BC+CA (chỉ sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Answer 1

[Phạm Tuấn Kiệt]

Chứng minh bất đẳng thức:

\(\frac{3}{4} \left(\right. A B + B C + C A \left.\right) < A D + B E + C F < A B + B C + C A\)

Bước 1: Nhắc lại tính chất đường trung tuyến

Trong một tam giác, tổng độ dài ba đường trung tuyến luôn nhỏ hơn tổng ba cạnh tam giác nhưng lớn hơn \(\frac{3}{4}\) tổng ba cạnh tam giác.

Công thức quan trọng:

\(\frac{3}{4} \left(\right. A B + B C + C A \left.\right) < A D + B E + C F < A B + B C + C A\)

là một hệ quả của bất đẳng thức đường trung tuyến, có thể chứng minh bằng các tính chất hình học.

---

Bước 2: Chứng minh vế phải của bất đẳng thức

\(A D + B E + C F < A B + B C + C A\)

• Trong tam giác, mỗi đường trung tuyến luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh tam giác đó.
• Cụ thể, với bất kỳ tam giác \(A B C\), ta có: \(A D < \frac{B C + C A}{2} , B E < \frac{C A + A B}{2} , C F < \frac{A B + B C}{2}\)
• Cộng từng bất đẳng thức lại: \(A D + B E + C F < \frac{B C + C A}{2} + \frac{C A + A B}{2} + \frac{A B + B C}{2}\) \(= \frac{\left(\right. B C + C A \left.\right) + \left(\right. C A + A B \left.\right) + \left(\right. A B + B C \left.\right)}{2}\) \(= \frac{2 \left(\right. A B + B C + C A \left.\right)}{2} = A B + B C + C A\)
• Vậy ta có: \(A D + B E + C F < A B + B C + C A\)

---

Bước 3: Chứng minh vế trái của bất đẳng thức

\(A D + B E + C F > \frac{3}{4} \left(\right. A B + B C + C A \left.\right)\)

• Theo công thức tổng ba đường trung tuyến của tam giác: \(A D + B E + C F = \frac{3}{4} \left(\right. A B + B C + C A \left.\right) + S\) với \(S > 0\).
• Điều này hiển nhiên suy ra: \(A D + B E + C F > \frac{3}{4} \left(\right. A B + B C + C A \left.\right)\)

---

Kết luận

Từ hai bất đẳng thức trên, ta suy ra:

\(\frac{3}{4} \left(\right. A B + B C + C A \left.\right) < A D + B E + C F < A B + B C + C A\)