Question

[Trương lê Phước Nghĩa]

Cho Q=1/5-2/5^2 +3/5^3 -4/5^4 +...+2021/5^2021 -2022/5^2022 . So sánh Q với 5/36          

Answer 1

[Phạm Tuấn Kiệt]

Ta có biểu thức:

\(Q = \sum_{n = 1}^{2022} \frac{\left(\right. - 1 \left.\right)^{n + 1} n}{5^{n}}\)

Bước 1: Biến đổi tổng Q

Xét tổng vô hạn có dạng tương tự:

\(S = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\left(\right. - 1 \left.\right)^{n + 1} n}{5^{n}}\)

Sử dụng phương pháp đặt tổng riêng:

\(S \left(\right. x \left.\right) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\left(\right. - 1 \left.\right)^{n + 1} n}{x^{n}} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \mid x \mid < 1\)

Có công thức tổng quát:

\(S \left(\right. x \left.\right) = \frac{x}{\left(\right. 1 + x \left.\right)^{2}} , \overset{ˊ}{\text{a}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{d}ụ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; x = \frac{1}{5}\) \(S \left(\right. \frac{1}{5} \left.\right) = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\right. 1 + \frac{1}{5} \left.\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\left(\right. \frac{6}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{36}{25}} = \frac{1}{5} \times \frac{25}{36} = \frac{5}{36}\)

Vì \(Q\) chỉ lấy đến \(n = 2022\) (không phải tổng vô hạn), nên:

\(Q \approx S \left(\right. \frac{1}{5} \left.\right) = \frac{5}{36}\)

Do phần dư \(R_{N} = \sum_{n = 2023}^{\infty} \frac{\left(\right. - 1 \left.\right)^{n + 1} n}{5^{n}}\) rất nhỏ, nên \(Q\) gần bằng \(\frac{5}{36}\).

Bước 2: So sánh Q với \(\frac{5}{36}\)

Vì tổng là một dãy so le hội tụ về \(\frac{5}{36}\), nên tổng hữu hạn Q sẽ gần giá trị này. Khi xét phần dư, ta thấy:

• Khi dừng ở \(n = 2022\), ta bỏ đi phần dương nhỏ (\(\approx 2023 / 5^{2023}\)), nên \(Q\) nhỏ hơn \(\frac{5}{36}\).

Kết luận:

\(Q < \frac{5}{36}\)