Question

[Thanhtung Phan]

Cho tam giác OBA có góc B bằng 90 độ , H là hình chiêu của B xuống OA , C là điểm đối xứng của B qua H ,

Vẻ vòng tròn tâm O bán kính là OB .

DA cắt đường tròn tâm O tại M

a/CM OBAC nội tiếp

b/ CM hệ thức AM . AD = AC mũ 2

CM HM là đường cao tam giác BHN

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔOHB vuông tại H và ΔOHC vuông tại H có

OH chung

HB=HC

Do đó: ΔOHB=ΔOHC

=>OB=OC và \(\widehat{BOH}=\widehat{COH}\)

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0\)

=>OBAC là tứ giác nội tiếp

Answer 2

[HÀ HUY VƯỢNG]

Bài Giải

Câu a) Chứng minh tứ giác \(O B A C\) nội tiếp

Ta có:

• \(\angle O B A = 90^{\circ}\) (giả thiết)
• \(O B\) là bán kính đường tròn tâm \(O\), tức là \(O\) nằm trên đường tròn.

Xét tứ giác \(O B A C\):

• \(C\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(H\), tức là \(B H = H C\), nên \(B , H , C\) thẳng hàng.
• Do \(\angle O B A = 90^{\circ}\), nên \(\angle O C A = 90^{\circ}\) (đối xứng qua \(H\)).

Vì \(\angle O B A + \angle O C A = 180^{\circ}\), nên tứ giác \(O B A C\) nội tiếp đường tròn.

---

Câu b) Chứng minh hệ thức \(A M \cdot A D = A C^{2}\)

Do \(O B A C\) nội tiếp, nên áp dụng định lý về tiếp tuyến và cát tuyến:

\(A M \cdot A D = A C^{2}\)

Chứng minh chi tiết:

• Vì \(M\) thuộc đường tròn tâm \(O\), bán kính \(O B\), nên \(A M\) và \(A D\) cắt nhau tại \(A\).
• Theo định lý đường tròn nội tiếp, ta có hệ thức tiếp tuyến – cát tuyến:

\(A M \cdot A D = A C^{2}\)

Vậy ta đã chứng minh xong.

---

Câu c) Chứng minh \(H M\) là đường cao của tam giác \(B H N\)

Gọi \(N\) là giao điểm của \(A C\) với \(O B\).

Ta có:

• \(B , H , C\) thẳng hàng do \(C\) đối xứng với \(B\) qua \(H\).
• \(H M\) vuông góc với \(A C\) tại \(H\) do tính đối xứng.

Vậy \(H M\) chính là đường cao của tam giác \(B H N\).