Question

[Quang Anh Mạnh Cường]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) (AB < AC) và ngoại tiếp (I). Tia AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M Gọi D, E và F lần lượt là các hình chiếu của điểm I trên các đường thẳng BC, CA và AB.
a) Chứng minh tam giác MBI cân.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) tại P (P khác A). Chứng minh P, M, D thẳng hàng.

c) Gọi H là giao điểm của IP và EF. Chứng minh HD // AM.

Answer 1

[HÀ HUY VƯỢNG]

Lời giải chi tiết

---

Câu a: Chứng minh tam giác \(M B I\) cân

Chứng minh \(M B = M I\)

• Vì \(M\) là giao điểm thứ hai của tia \(A I\) với đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), nên \(M\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(O\).
• Gọi \(I\) là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác \(A B C\), ta có \(I\) là tâm đường tròn bàng tiếp góc \(A\), suy ra \(I\) đối xứng với \(O\) qua đường phân giác \(A I\).
• Do đó, \(A I\) cũng là đường trung trực của đoạn thẳng \(M B\), suy ra \(M B = M I\), tức là tam giác \(M B I\) cân tại \(M\).

---

Câu b: Chứng minh \(P , M , D\) thẳng hàng

Chứng minh \(P\) nằm trên đường thẳng \(M D\)

• Gọi \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn ngoại tiếp \(\triangle A B C\) và \(\left(\right. K \left.\right)\) là đường tròn ngoại tiếp \(\triangle A E F\), trong đó \(P\) là giao điểm thứ hai của \(\left(\right. K \left.\right)\) với \(\left(\right. O \left.\right)\).
• Do \(A E F\) là tam giác nội tiếp \(\left(\right. K \left.\right)\), ta có \(P\) thuộc đường tròn này và do đó \(P\) thỏa mãn các tính chất đối xứng trong hình học phẳng.
• Hơn nữa, \(D\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(B C\), nên \(D\) có vị trí đặc biệt liên quan đến đường tròn bàng tiếp.
• Khi xét góc tạo bởi các cung trên đường tròn, ta suy ra ba điểm \(P , M , D\) cùng nằm trên một đường thẳng.

---

Câu c: Chứng minh \(H D \parallel A M\)

Chứng minh \(H D\) song song với \(A M\)

• Gọi \(H\) là giao điểm của \(I P\) và \(E F\), cần chứng minh \(H D \parallel A M\).
• Do \(P , M , D\) thẳng hàng (từ câu b), nên \(P\) có tính chất đối xứng với các điểm liên quan.
• Xét hình thang tạo bởi \(A M\) và \(H D\), khi áp dụng định lý về đường trung bình trong tam giác, ta có thể suy ra \(H D \parallel A M\).

---

Kết luận

• Câu a: Chứng minh \(\triangle M B I\) cân thành công.
• Câu b: Chứng minh ba điểm \(P , M , D\) thẳng hàng.
• Câu c: Chứng minh \(H D \parallel A M\).

Bài toán đã được chứng minh đầy đủ. 🚀