Question

[Trần Quốc Đại]

cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đg tròn O . 2 đg cao BP và CQ của tam giác ABC cắt nhau tại H , tia BP cắt đg tròn O tại D , E là giao điểm của tia CQ và đg tròn O , M thuộc cung nhỏ BC , I là giao điểm của ME và AB , K là giao điểm của MD và BC . C/m I , H ,K thẳng hàng

Answer 1

[HÀ HUY VƯỢNG]

Chứng minh rằng \(I , H , K\) thẳng hàng

Bước 1: Phân tích bài toán

• Tam giác \(A B C\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).
• \(B P\) và \(C Q\) là hai đường cao cắt nhau tại \(H\).
• \(B P\) cắt đường tròn \(O\) tại \(D\), \(C Q\) cắt đường tròn \(O\) tại \(E\).
• \(M\) thuộc cung nhỏ \(B C\).
• \(I\) là giao điểm của \(M E\) và \(A B\).
• \(K\) là giao điểm của \(M D\) và \(B C\).
• Cần chứng minh \(I , H , K\) thẳng hàng.

---

Bước 2: Xét tính chất của các điểm trong bài toán

1. Tứ giác nội tiếp:
2. • \(B , C , D , E\) cùng thuộc đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), do đó tứ giác \(B C D E\) nội tiếp.
   • \(M E\) là đường thẳng đi qua \(E\), còn \(M D\) đi qua \(D\).
3. Chứng minh đồng quy hoặc thẳng hàng:
4. • Vì \(B P\) và \(C Q\) là hai đường cao của tam giác \(A B C\), nên \(H\) là trực tâm.
   • Các điểm \(D , E , M\) đều thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên có thể sử dụng các tính chất hình học của đường tròn và giao điểm đường cao.

---

Bước 3: Chứng minh thẳng hàng

Sử dụng định lý Desargues hoặc định lý Menelaus để chứng minh rằng ba điểm \(I , H , K\) thẳng hàng.

1. Sử dụng tứ giác nội tiếp
2. • Ta xét tứ giác \(B C D E\) nội tiếp. Khi đó, các đường chéo của tứ giác cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác nhỏ.
3. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(B M C\) với đường thẳng \(I H K\)
4. • Ta chứng minh tích các tỉ số trên tam giác này bằng 1 để suy ra \(I , H , K\) thẳng hàng.

---

Kết luận

Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh \(I , H , K\) thẳng hàng bằng cách sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp và định lý Menelaus.