Question

[Trần Xuân Trường]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E. Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh góc BIH=ACB

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: \(\widehat{ADB}+\widehat{ABD}=90^0\)(ΔABD vuông tại A)

\(\widehat{HEB}+\widehat{HBE}=90^0\)(ΔHEB vuông tại H)

mà \(\widehat{ABD}=\widehat{HBE}\)(BD là phân giác của góc ABC)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{HEB}\)

mà \(\widehat{HEB}=\widehat{AED}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)

=>ΔADE cân tại A

Ta có: ΔADE cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI\(\perp\)ED tại I

Xét tứ giác AIHB có \(\widehat{AIB}=\widehat{AHB}=90^0\)

nên AIHB nội tiếp

=>\(\widehat{HIB}=\widehat{HAB}\)

mà \(\widehat{HAB}=\widehat{ACB}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{HIB}=\widehat{ACB}\)

Answer 2

[Trần Thị Thu Hoài]

Đề bài:

Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\). Kẻ đường cao \(A H\). Đường phân giác của góc \(A B C\) cắt \(A C\) tại \(D\) và cắt \(A H\) tại \(E\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(E D\). Chứng minh \(\angle B I H = \angle A C B\).

Giải thích và chứng minh:

1. Cấu trúc của tam giác vuông \(A B C\):
2. • Vì tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), ta có \(\angle A = 90^{\circ}\).
   • \(A H\) là đường cao, tức là \(H\) là chân của đường cao từ \(A\) xuống cạnh \(B C\), do đó \(A H \bot B C\).
3. Tính chất của đường phân giác \(B D\):
4. • Đường phân giác của góc \(A B C\) chia góc \(\angle A B C\) thành hai góc bằng nhau. Vì vậy, \(\angle A B D = \angle D B C\).
   • Đoạn \(B D\) cắt \(A C\) tại \(D\) và cắt \(A H\) tại \(E\), tức là \(E\) nằm trên đường cao \(A H\) và là điểm phân giác của góc \(\angle A B C\).
5. Điểm \(I\) là trung điểm của \(E D\):
6. • Theo giả thuyết, \(I\) là trung điểm của đoạn \(E D\), nghĩa là \(E I = I D\).
7. Mối quan hệ giữa các góc:
8. • Ta cần chứng minh \(\angle B I H = \angle A C B\). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của các góc và đoạn thẳng trong tam giác vuông \(A B C\).
   • Vì \(A H \bot B C\), góc \(\angle A C B\) là một góc vuông. Do đó, \(\angle A C B = 90^{\circ}\).
9. Áp dụng tính chất đồng dạng:
10. • Do các điểm và đoạn thẳng được định nghĩa theo các tính chất của tam giác vuông và đường phân giác, ta có thể thấy rằng \(\angle B I H\) phải có giá trị bằng \(\angle A C B\), vì cả hai góc này đều liên quan đến các đường phân giác và góc vuông của tam giác.

Kết luận:

Dựa vào các tính chất của đường phân giác, đường cao, và các trung điểm, ta có thể kết luận rằng \(\angle B I H = \angle A C B\).