Question

[Nguyễn Đức Tài]

Cho tam giác ABC các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. chứng minh rằng:

a. tứ giác AEHD VÀ BEDC NỘI TIẾP

b,, góc BHE= góc BAC

c,DE<BC

nhờ gải giúp em voi ạ

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

a) Tứ giác AEHD có:

∠AEH = ∠ADH = 90⁰

⇒ AEHD nội tiếp

Tứ giác BEDC có:

∠BDC = ∠BEC = 90⁰

⇒ D và E cùng nhìn BC dưới một góc 90⁰

⇒ BEDC nội tiếp

b) ∆BHE vuông tại E

⇒ ∠BHE + ∠HBE = 90⁰

⇒ ∠BHE + ∠DBA = 90⁰

∆ABD vuông tại D

⇒ ∠DBA + ∠BAD = 90⁰

⇒ ∠DBA + ∠BAC = 90⁰

Mà ∠BHE + ∠BAD = 90⁰ (cmt)

⇒ ∠BHE = ∠BAC

c) Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính BC

⇒ BC là dây cung lớn nhất

⇒ DE < BC

Answer 2

[doanh]

a) Chứng minh rằng tứ giác AEHDAEHDAEHD và BEDCBEDCBEDC là tứ giác nội tiếp

Để chứng minh một tứ giác là nội tiếp, ta phải chứng minh rằng tổng các góc đối diện của nó bằng 180∘180^\circ180∘.

1. Tứ giác AEHDAEHDAEHD:

• Tứ giác AEHDAEHDAEHD có bốn đỉnh là A,E,H,DA, E, H, DA,E,H,D. Để tứ giác này là nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối diện của nó bằng 180∘180^\circ180∘.
• Các góc ∠AED\angle AED∠AED và ∠AHD\angle AHD∠AHD đều nằm trên một vòng tròn ngoại tiếp vì HHH là giao điểm của các đường cao, nên các góc này có quan hệ đặc biệt (có thể chứng minh qua tính chất của các góc trong tam giác vuông).
• Do đó, tứ giác AEHDAEHDAEHD là tứ giác nội tiếp.

2. Tứ giác BEDCBEDCBEDC:

• Tứ giác BEDCBEDCBEDC có bốn đỉnh là B,E,D,CB, E, D, CB,E,D,C. Ta cũng cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng 180∘180^\circ180∘.
• Các góc ∠BEC\angle BEC∠BEC và ∠BDC\angle BDC∠BDC cũng nằm trên một vòng tròn ngoại tiếp, vì HHH là điểm chung của các đường cao, và các góc này có tính chất vuông và phụ thuộc vào các đường cao.
• Do đó, tứ giác BEDCBEDCBEDC cũng là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng ∠BHE=∠BAC\angle BHE = \angle BAC∠BHE=∠BAC

Để chứng minh ∠BHE=∠BAC\angle BHE = \angle BAC∠BHE=∠BAC, ta sử dụng tính chất của các góc trong tam giác vuông và các góc đối diện khi có các đường cao.

• Vì BDBDBD và CECECE là các đường cao của tam giác vuông, ∠BHE\angle BHE∠BHE là một góc được hình thành bởi đường cao BDBDBD và CECECE. Khi hai đường cao cắt nhau tại điểm HHH, các góc tạo thành tại HHH có quan hệ đặc biệt với các góc trong tam giác ban đầu.
• Cụ thể, góc ∠BHE\angle BHE∠BHE là góc ngoài của tam giác vuông ABCABCABC, và bởi tính chất các góc đối diện, ta có ∠BHE=∠BAC\angle BHE = \angle BAC∠BHE=∠BAC.

c) Chứng minh rằng DE<BCDE < BCDE<BC

Để chứng minh DE<BCDE < BCDE<BC, ta có thể sử dụng tính chất của các đoạn vuông góc và so sánh độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

• Đoạn DEDEDE là đoạn nối giữa hai điểm DDD và EEE, là hai điểm nằm trên các đường cao của tam giác ABCABCABC. Theo định lý về các đường cao, đoạn DEDEDE không thể dài hơn đoạn BCBCBC, vì BCBCBC là cạnh của tam giác ban đầu.
• Hơn nữa, đoạn DEDEDE có chiều dài nhỏ hơn cạnh BCBCBC vì DEDEDE là đoạn nối hai điểm trên các đường cao, trong khi BCBCBC là cạnh đối diện của góc vuông ∠BAC\angle BAC∠BAC.
• Do đó, DE<BCDE < BCDE<BC.

 like cho minh nhe