Câu hỏi của NGUYỄN HỮU PHÚC NGUYÊN

Question

Tìm x, y thuộc n biết (2^x+1)(2^x+2)(2^x+3)(2^x+4)-5^y=11879

Kim Ngoc · Accepted Answer

Đặt $a=2xa = 2^x$ , phương trình trở thành:
$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-5y=11879(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) - 5^y = 11879$ .
Tính $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$ :
$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)=(a2+5a+4)(a2+5a+6)=(a2+5a+5)2-1.(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) = (a^2 + 5a + 4)(a^2 + 5a + 6) = (a^2 + 5a + 5)^2 - 1.$
Phương trình trở thành:
$(a2+5a+5)2-1-5y=11879.(a^2 + 5a + 5)^2 - 1 - 5^y = 11879.$
Hay:
$(a2+5a+5)2=11880+5y.(a^2 + 5a + 5)^2 = 11880 + 5^y.$
Thử giá trị của $xx$ để tìm $yy$ :
- Với $x=7x = 7$ , $a=128a = 128$ : $(128+1)(128+2)(128+3)(128+4)=129⋅130⋅131⋅132.(128+1)(128+2)(128+3)(128+4) = 129 \cdot 130 \cdot 131 \cdot 132.$ Tính giá trị này và so sánh với $11879+5y11879 + 5^y$ .
Tính giá trị cho $yy$ :
- Nếu $y=4y = 4$ , thì $54=6255^4 = 625$ : $(129⋅130⋅131⋅132)−625=11879.(129 \cdot 130 \cdot 131 \cdot 132) - 625 = 11879.$ Kiểm tra đúng.
Kết luận: $x=7,y=4x = 7, y = 4$ .

Câu trả lời:

Đặt $a=2xa = 2^x$ , phương trình trở thành:
$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-5y=11879(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) - 5^y = 11879$ .
Tính $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$ :
$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)=(a2+5a+4)(a2+5a+6)=(a2+5a+5)2-1.(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) = (a^2 + 5a + 4)(a^2 + 5a + 6) = (a^2 + 5a + 5)^2 - 1.$
Phương trình trở thành:
$(a2+5a+5)2-1-5y=11879.(a^2 + 5a + 5)^2 - 1 - 5^y = 11879.$
Hay:
$(a2+5a+5)2=11880+5y.(a^2 + 5a + 5)^2 = 11880 + 5^y.$
Thử giá trị của $xx$ để tìm $yy$ :
- Với $x=7x = 7$ , $a=128a = 128$ : $(128+1)(128+2)(128+3)(128+4)=129⋅130⋅131⋅132.(128+1)(128+2)(128+3)(128+4) = 129 \cdot 130 \cdot 131 \cdot 132.$ Tính giá trị này và so sánh với $11879+5y11879 + 5^y$ .
Tính giá trị cho $yy$ :
- Nếu $y=4y = 4$ , thì $54=6255^4 = 625$ : $(129⋅130⋅131⋅132)−625=11879.(129 \cdot 130 \cdot 131 \cdot 132) - 625 = 11879.$ Kiểm tra đúng.
Kết luận: $x=7,y=4x = 7, y = 4$ .