Question

[Nguyễn Thị Khánh Ly]

2. Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn (0) Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với B,C là hai tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh bốn điểm A,B,C,O thuộc cùng một đường tròn.

b) Chứng minh OH.OA-R

c) Lấy điểm D trên (0) sao cho BD = BC. Trên tia BA, lấy điểm E sao cho BE = DC. Chúng mình OB là đường trung trực của CD và OA, BC và DE đồng quy.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C O H D E

a/

Ta có B và C cùng nhìn AO dưới 2 góc = nhau và \(=90^o\)

=> B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO => A; B; C; O cùng nằn trên 1 đường tròn

b/

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO

\(OB=OC=R;AO\) chung \(\Rightarrow\Delta ABO=\Delta ACO\) (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

Xét \(\Delta ABC\)

\(\Delta ABO=\Delta ACO\left(cmt\right)\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A và \(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow AO\perp BC;BH=CH\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến)

Xét tg vuông ABO

\(AO\perp BC\left(cmt\right)\Rightarrow BH\perp AO\)

\(\Rightarrow OB^2=R^2=OH.OA\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

c/

Xét \(\Delta BCD\)

\(BD=BC\left(gt\right)\Rightarrow\Delta BCD\) cân tại B

Ta có

\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđcungBC\) (góc giữa tt và dây cung)

\(sđ\widehat{BDC}=\dfrac{1}{2}sđcungBC\) (góc nt)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BDC}\)

\(\Delta BDC\) cân tại B (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{BCD}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BCD}\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong => AB//CD

Mà \(OB\perp AB\)

\(\Rightarrow OB\perp CD\) => OB là đường cao của \(\Delta BCD\)

\(\Delta BCD\) cân tại B có OB là đường cao => OB cũng đồng thời là đường trung trực của \(\Delta BCD\) hay OB là đường trung trực của CD

Xét tg cân ABC có OA là đường trung tuyến (cmt)

=> BH = CH => H là trung điểm BC

Xét tứ giác BECD có

AB//CD (cmt) => BE//CD mà BE = CD (gt) => BECD là hình bình hành (tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Gọi H' là giao của BC và DE => BH' = CH' (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> H' là trung điểm của BC; mà H cũng là trung điểm của BC (cmt)

\(\Rightarrow H'\equiv H\) => OA; BC; DE đồng quy