Question

[Trang Pham]

Cho A=2+2 mũ 2+2 mũ 3+......+2 mũ 60

A)Thu gọn tổng A        B)Chứng tỏ rằng:A chia hết cho 3,5,7

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: \(A=2+2^2+...+2^{60}\)

=>\(2A=2^2+2^3+...+2^{61}\)

=>\(2A-A=2^2+2^3+...+2^{61}-2-2^2-...-2^{60}\)

=>\(A=2^{61}-2\)

b:

Ta có: \(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\)

\(=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7\left(2+2^4+...+2^{58}\right)⋮7\)

 \(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+...+\left(2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{57}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(=15\left(2+2^5+...+2^{57}\right)\)

mà \(15⋮3;15⋮5\)

nên \(A⋮3;A⋮5\)

Answer 2

[ngọc anh phạm]

 

Tổng A có dạng một dãy cấp số nhân với công bội là 2:

A=2+22+23+...+260A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{60}

Ta có thể viết lại A như sau:

A=2(1+2+22+23+...+259)A = 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{59})

Sử dụng công thức tổng của một dãy cấp số nhân:

1+2+22+23+...+259=260−12−1=260−11 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{59} = \frac{2^{60} - 1}{2 - 1} = 2^{60} - 1

Vậy:

A=2(260−1)=261−2A = 2(2^{60} - 1) = 2^{61} - 2 B) Chứng tỏ rằng A chia hết cho 3, 5, 7

Ta có:

A=261−2A = 2^{61} - 2

1. Chia hết cho 3:

Ta cần chứng minh 261−22^{61} - 2 chia hết cho 3. Ta xem xét phần dư của 2612^{61} khi chia cho 3. Ta thấy rằng:

21≡2(mod3)2^1 \equiv 2 \pmod{3} 22≡1(mod3)2^2 \equiv 1 \pmod{3} 23≡2(mod3)2^3 \equiv 2 \pmod{3} 24≡1(mod3)2^4 \equiv 1 \pmod{3} ......

Ta nhận thấy rằng 2nmod  32^n \mod 3 lặp lại chu kỳ 2,1. Do đó, với 2612^{61}:

261≡2(mod3)2^{61} \equiv 2 \pmod{3} 261−2≡2−2≡0(mod3)2^{61} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \pmod{3}

Vậy AA chia hết cho 3.

1. Chia hết cho 5:

Ta xem xét phần dư của 2612^{61} khi chia cho 5. Ta có:

21≡2(mod5)2^1 \equiv 2 \pmod{5} 22≡4(mod5)2^2 \equiv 4 \pmod{5} 23≡3(mod5)2^3 \equiv 3 \pmod{5} 24≡1(mod5)2^4 \equiv 1 \pmod{5} ......

Ta nhận thấy rằng 2nmod  52^n \mod 5 lặp lại chu kỳ 4,3,2,1. Do đó, với 2612^{61}:

261≡2(mod5)2^{61} \equiv 2 \pmod{5} 261−2≡2−2≡0(mod5)2^{61} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \pmod{5}

Vậy AA chia hết cho 5.

1. Chia hết cho 7:

Ta xem xét phần dư của 2612^{61} khi chia cho 7. Ta có:

21≡2(mod7)2^1 \equiv 2 \pmod{7} 22≡4(mod7)2^2 \equiv 4 \pmod{7} 23≡1(mod7)2^3 \equiv 1 \pmod{7} 24≡2(mod7)2^4 \equiv 2 \pmod{7} ......

Ta nhận thấy rằng 2nmod  72^n \mod 7 lặp lại chu kỳ 3,1,2,4. Do đó, với 2612^{61}:

261≡2(mod7)2^{61} \equiv 2 \pmod{7} 261−2≡2−2≡0(mod7)2^{61} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \pmod{7}

Vậy AA chia hết cho 7.

Do đó, A=261−2A = 2^{61} - 2 chia hết cho cả 3, 5 và 7.