Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(A_{\left(n\right)}.B_{\left(n\right)}=\left(2^{2n+1}+2^{n+1}+1\right)\left(2^{2n+1}-2^{n+1}+1\right)\)
\(=\left[\left(2^{2n+1}+1\right)-2^{n+1}\right]\left[\left(2^{2n+1}+1\right)+2^{n+1}\right]\)
\(=\left(2^{2n+1}+1\right)^2-\left(2^{n+1}\right)^2\)
\(=\left(2^{2n+1}\right)^2+2.2^{2n+1}+1-\left(2^{n+1}\right)^2\)
\(=2^{4n+2}+2^{2n+2}+1-2^{2n+2}\)
\(=4^{2n+1}+1\) luôn chia hết cho 5\(\forall n\in N\)
Do đó \(A_{\left(n\right)}.B_{\left(n\right)}\) chia hết cho 5 hay tồn tại 1 và duy nhất \(A_{\left(n\right)}\) hoặc \(B_{\left(n\right)}\) chia hết cho 5
#)Giải :
Giả sử cả A và B đều chia hết cho 5
=> a - b chia hết cho 5
=> 22n + 1 + 22n + 1 + 1 - (22n + 1 - 22n + 1 + 1) = 2.22n + 1 chia hết cho 5
=> 22n + 1 chia hết cho 5
Nhưng vì 22n + 1 có tận cùng là 0 và 5 nên điều này không thể xảy ra
=> Phải có ít nhất A(n) hoặc B(n) không chia hết cho 5, số còn lại chia hết cho 5
=> đpcm
Đây là theo cách giải của mik nha:
lấy A.B = 2^(4n+2)+1 = 4.16^n+1
Mà 16^n luôn có đuôi bằng 6 hoặc 1 (khi n=0) với mọi n
=> 4.16^n luôn có đuôi bằng 4
=> A.B luôn có đuôi bằng 5
=> ĐPCM
Ta có:
A.B=2^(4n+2) + 1=2^(4n).2^(2) + 1=16^(n).4 + 1. Dễ dàng nhận thấy 16^n luôn có tận cùng bằng 6 => 16^(n).4 có tận cùng bằng 4=> 16^(n).4 + 1 có tận cùng bằng 5, chia hết cho 5 => Ít nhất có 1 số A hoặc B chia hết cho 5. Mặt khác A - B= 2.2^(n+1) = 2^(2n+1), ko chia hết cho 5 với mọi n => A và B ko thể đồng thời chia hết cho 5. Kết hợp => Đpcm.
\(AB=\left(2^{2n+1}+2^{n+1}+1\right)\left(2^{2n+1}-2^{n+1}+1\right)\)
\(=4^{2x+1}+1\)
\(=\left(5-1\right)^{2n+1}+1⋮5\)
mà \(\left(A,B\right)=1\)do đó ta có đpcm.
anh chị nào đang onl hộ mình đi mà . gấp lắm rồi ấy
Có \(AB=\left(2^{2n+1}+2^{n+1}+1\right)\left(2^{2n+1}-2^{n+1}+1\right)\)
\(=\left(2^{2n+1}+1\right)^2-\left(2^{n+1}\right)^2\)
\(=\left(2^{2n+1}\right)^2-2.2^{2n+1}+1-2^{2n+2}\)
\(=2^{4n+2}+1\)
Ta sẽ chứng minh \(AB⋮5\) (*) bằng quy nạp.
Thật vậy, với \(n=1\) thì \(AB=65⋮5\) -> (*) đúng
Với \(n=2\) thì \(AB=1025⋮5\) -> (*) đúng
Giả sử (*) đúng đến \(n=k\ge1\), ta cần chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\). Thật vậy, với \(n=k+1\), ta có:
\(AB=2^{4\left(k+1\right)+2}+1\)
\(=2^{4k+6}+1\)
\(=2^{4k+6}+16-15\)
\(=2^4\left(2^{4k+2}+1\right)-15\)
Theo giả thiết quy nạp, \(2^{4k+2}⋮5\). Hơn nữa \(15⋮5\) nên \(AB⋮5\).
Vậy (*) đúng với \(n=k+1\). Theo nguyên lí quy nạp, ta có \(AB⋮5\)
Giả sử cả 2 số \(A,B\) đều chia hết cho 5. Khi đó:
\(A-B=2.2^{n+1}⋮5\), vô lý.
Vậy với mọi \(n\) thì chỉ có đúng 1 trong 2 số \(A,B\) chia hết cho 5. (đpcm)