LN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
EC
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
Nếu \(xy\le0\Rightarrow M\le0;\) nếu \(xy>0\Rightarrow M>0\Rightarrow\) GTLN nếu có của M sẽ xảy ra khi \(xy>0\)
Xét \(xy>0\Rightarrow xy+1>0\Rightarrow x>0\Rightarrow y>0\)
\(x\ge xy+1\Leftrightarrow1\ge y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\Rightarrow\frac{y}{x}\le\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\frac{x}{y}\ge4\)
\(M=\frac{3xy}{x^2+y^2}=\frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=\frac{3}{\frac{15}{16}.\frac{x}{y}+\frac{x}{16y}+\frac{y}{x}}\le\frac{3}{\frac{15}{16}.4+2\sqrt{\frac{xy}{16yx}}}=\frac{12}{17}\)
\(\Rightarrow M_{max}=\frac{12}{17}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
DT
0
KV
0
31 tháng 8 2015
Trước khi bắt đầu ta nhắc lại bất đẳng thức Cauchy-Schwartz sau: Với \(a,b>0\) thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\). Để chứng minh ta áp dụng bất đẳng thức Cô-Si liên tiếp hai lần như sau \(a+b\ge2\sqrt{ab},\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\to\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4.\)
Theo giả thiết \(x+y=1\). Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\to xy\le\frac{1}{4}.\)
Đặc biệt ta suy ra \(-5xy\ge-\frac{5}{4}.\) (1)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{1}{2xy}+8xy\ge2\sqrt{\frac{1}{2xy}\cdot8xy}=4\to\frac{1}{2xy}+8xy\ge4.\) (2)
Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=4.\) (3)
Từ ba bất đẳng thức (1), (2), (3), ta cộng lại sẽ được \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+3xy\ge4+4-\frac{5}{4}=\frac{27}{4}.\) (ĐPCM)