Trong suốt các chuỗi học tập , có một người cô không mặc áo dài, không cầm viên phấn, cũng chẳng bước vào lớp học của em. Nhưng lại là người đã giúp em vượt qua biết bao lần “bí toán” mà không một lời than vãn. Cô tên là Thương Hoài – người mà em chỉ gặp qua màn hình máy tính.

Cô là một trong những “người hùng thầm lặng” của trang OLM.vn – nơi học sinh tụi em gửi những câu hỏi khó nhằn mà sách giáo khoa chẳng bao giờ giải thích cặn kẽ. Em nhớ lần đầu thấy tên cô trong mục trả lời, em không nghĩ nhiều. Chỉ là một lời giải bình thường, đúng không? Nhưng không. Cô không chỉ cho đáp án. Cô giải thích từng bước như thể đang ngồi cạnh em, chỉ tay vào từng con số, từng phép tính. Cách cô viết chậm rãi, dễ hiểu như một bàn tay dịu dàng dắt em đi qua những lối rẽ rối rắm trong mê cung kiến thức.

Có lần, em hỏi một bài dễ mà vẫn sai be bét. Xấu hổ, tự trách mình. Nhưng cô không cười, không quát. Chỉ nhắn: “Sai thì mới học được. Cô tin em sẽ làm đúng ở lần sau.” Ngắn thôi, nhưng ấm áp hơn cả ánh nắng buổi sớm. Từ hôm đó, em nhận ra: học không phải là hành trình cô đơn. Chỉ cần có một người tin mình, mình sẽ không dễ dàng bỏ cuộc.

Cô không biết mặt em. Em cũng chưa từng nhìn thấy cô. Nhưng giữa thế giới ảo, cô lại rất thật – thật đến từng dòng chữ, từng lời động viên, từng phép tính cẩn thận. Với em, cô là người gieo hạt giống của sự kiên trì, là ánh sáng nhỏ trong những lúc em cảm thấy tối tăm nhất.

Không cần bục giảng, không cần tiếng chuông vào lớp, cô Thương Hoài vẫn là một người cô đúng nghĩa. Một người cô đặc biệt, mà em biết – dù thời gian trôi qua bao lâu nữa, em cũng sẽ không bao giờ quên.

1. Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ tia BD là phân giác của góc ABC (D ∈ AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE.

a. Chứng minh: ∆BAD = ∆BED

b. Từ A kẻ AH ⊥ BC tại H. Chứng minh: AH // DE

c. Trên tia đối của tia ED lấy điểm K sao cho ED = EK. Chứng minh: Góc EKC = góc ABC

2.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Phân giác góc B cắt AC tại D. 

a. Chứng minh ∆ABD = Đồng ý∆EBD và DE ⊥ BC

b. Gọi K là giao điểm của tia ED và tia BA. Chứng minh AK = EC.

c. Gọi M là trung điểm của KC. Chứng minh ba điểm B, D, M thẳng hàng.

3.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BA = BM. Gọi E là trung điểm AM.

a.Chứng minh: ∆ABE = ∆MBE.

b. Gọi K là giao điểm BE và AC. Chứng minh: KM ⊥ BC,

c. Qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt BK tại F. Trên đoạn thẳng KC lấy điểm Q sao cho KQ = MF. Chứng minh: góc ABK = QMC

4

Cho tam giác ABC có AB = AC, lấy M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh ∆ABM = ∆ACM

b) Kẻ ME ⊥ AB tại Em kẻ MF ⊥ AC tại F. Chứng minh AE = AF.

c) Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh ba điểm A, K, M thẳng hàng

d) Từ C kẻ đương thẳng song song với AM cắt tia BA tại D. Chứng minh A là trung điểm của BD.

Thưa thầy/cô, em còn nhớ những buổi học đầu tiên, khi em còn bỡ ngỡ và lo lắng. Nhờ có thầy/cô luôn bên cạnh động viên, hướng dẫn, em đã dần tự tin hơn. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy/cô, những người đã dìu dắt em từng bước trên con đường học tập.

Nhân ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11, em xin kính chúc thầy/cô luôn mạnh khỏe, tràn đầy năng lượng để tiếp tục sự nghiệp trồng người cao quý. Chúc thầy/cô luôn vui vẻ, hạnh phúc bên gia đình và bạn bè. Em luôn ngưỡng mộ sự tận tâm, nhiệt huyết của thầy/cô. Thầy/cô không chỉ là người thầy mà còn là người bạn, người truyền cảm hứng cho em.

Nhờ những kiến thức và kỹ năng mà thầy/cô truyền dạy, em đã có thể tự tin tham gia các hoạt động của trường lớp. Em sẽ cố gắng học tập thật tốt để không phụ lòng thầy/cô. Em mong muốn sau này sẽ trở thành một người có ích cho xã hội, giống như thầy/cô vậy.

Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy/cô. Em sẽ mãi ghi nhớ công ơn của thầy/cô. Chúc thầy/cô một ngày 20/11 thật ý nghĩa và hạnh phúc.

 Cho số nguyên n ≥ 3. Trong không gian cho n điểm mà không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào đồng phẳng. Tại mỗi điểm ghi 1 số nguyên dương sao cho không có 2 điểm nào được ghi bởi cùng 1 số và n số được ghi là n số nguyên dương đầu tiên. Gọi điểm được ghi số i là điểm i. Nối tất cả các cặp điểm (p, q) với p < q bởi 1 mũi tên từ p đến q. Tô mỗi mũi tên bởi 1 trong 2 màu xanh, đỏ. Một cách tô màu được gọi là "tốt"nếu tồn tại 2 điểm j, k sao cho có thể đi từ j đến k qua các mũi tên xanh và cũng có thể đi từ j đến k qua các mũi tên đỏ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu "tốt"?

 Một đoàn khách du lịch gồm \(n\) người được xếp vào \(r\) khách sạn \(S_1,S_2,...,S_r\). Yêu cầu đặt ra là đưa \(n_i\) khách ở tại khách sạn \(S_i\left(i=1,2,...,r\right)\), trong đó \(n_1,n_2,...,n_r\) là các số tự nhiên đã cho thỏa mãn điều kiện \(n_1+n_2+...+n_r=n\). Chứng minh rằng số cách phân phối khách thỏa mãn yêu cầu trên là:

 \(P=\dfrac{n!}{n_1!n_2!...n_r!}\)

 Nhờ công thức trên, hãy suy ra rằng với mỗi số nguyên dương \(m\), ta có:

 \(\left(4m\right)!\) chia hết cho \(2^{3m}.3^m\).