với x, y, z >0, chứng minh (x2 + 1)(y2 + 1)(z2 + 1) ≥\(\dfrac{3}{4}\)(x+y+z)2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
10 tháng 2 2024
Cho phép mình ghim lời chúc này lên đầu trang nhé, một lời chúc thật đẹp đến vào đúng nửa đêm giao thừa. Cảm ơn em rất nhiều! Thay mặt ban quản lí HOC24, chúc các thầy cô giáo và các bạn học sinh sẽ luôn mạnh khỏe, hạnh phúc và thành công trong cuộc sống nhé. Cảm ơn các bạn rất nhiều vì đã là một phần của cộng đồng OLM và hoc24.
TD
Thầy Đức Anh
Manager
VIP
17 tháng 2 2024
Câu e:
$\widehat {A_1}+\widehat{A_2}=90^{\circ}$
$\widehat{A_2}=\widehat{C_1}$
$\Rightarrow \widehat{A_1}+\widehat{C_1}=90^{\circ}$
Mặt khác $\widehat{C_1}+\widehat{CAH} = 90^{\circ}$
Suy ra $A_1=\widehat{CAH}$ (1)
Chứng minh được $\Delta JAE = \Delta HAE$ (cgv-gn)
$\Rightarrow AJ=AH$ (2)
Từ (1); (2) và chung cạnh $AC$ ta suy ra $\Delta AJC=\Delta AHC$ (c.g.c).
Suy ra $\widehat {J}=90^{\circ}$ hay $CJ\bot IJ$.
Chứng minh tương tự $BI \bot IJ$.
NT
3
C
8 tháng 12 2023
Bài 1: Giải:
Từ 1 ⇒ 9 có số trang là : (9 - 1) x 1 + 1 = 9(trang)
⇒ Từ 1 đến 9 cần đánh số chữ số là: 9 x 1 = 9(chữ số)
Từ 10 ⇒ 99 có số trang là: (99 - 10) x 1 + 1 = 90(trang)
⇒ Từ 10 đến 99 cần đánh số chữ số là: 90 x 2 = 180(chữ số)
Từ 100 ⇒ 452 có tổng số trang là: (452 - 100) x 1 + 1 = 353(trang)
⇒ Từ 100 đến 452 cần đánh số chữ số là: 353 x 3 = 1059(chữ số)
⇒ Vậy phải đánh tổng các số chữ số là: 9 + 180 + 1059 = 1248(chữ số)
Vậy người cần đánh 1248 chữ số.
Đ/số:.....
KN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 11 2023
Lời giải:
Để $n^4+n^3+1$ là scp $\Leftrightarrow A=4n^4+4n^3+4$ cũng phải là scp
Xét $A-(2n^2+n+1)^2=4n^4+4n^3+4-(2n^2+n+1)^2=-5n^2-2n+3\leq -5-2n+3=-2-2n<0$ với mọi $n\geq 1$
$\Rightarrow A< (2n^2+n+1)^2(1)$
Xét $A-(2n^2+n-1)^2=4n^4+4n^3+4-(2n^2+n-1)^2=3n^2+2n+3>0$ với mọi $n\geq 1$
$\Rightarrow A> (2n^2+n-1)^2(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow (2n^2+n-1)^2< A< (2n^2+n+1)^2$
$\Rightarrow A=(2n^2+n)^2$
$\Rightarrow (4n^4+4n^3+4)=(2n^2+n)^2$
$\Leftrightarrow 4-n^2=0$
$\Rightarrow n=2$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq (x+y+z)^2$
$\Rightarrow \frac{3}{4}(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq \frac{3}{4}(x+y+z)^2$
Giờ ta chỉ cần cm:
$(y^2+1)(z^2+1)\geq \frac{3}{4}[1+(y+z)^2]$
$\Leftrightarrow 4(y^2z^2+y^2+z^2+1)\geq 3(y^2+z^2+2yz+1)$
$\Leftrightarrow 4y^2z^2+1+y^2+z^2-6yz\geq 0$
$\Leftrightarrow (2yz-1)^2+(y-z)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
(�2+1)[1+(�+�)2]≥(�+�+�)2(x2+1)[1+(y+z)2]≥(x+y+z)2
⇒34(�2+1)[1+(�+�)2]≥34(�+�+�)2⇒43(x2+1)[1+(y+z)2]≥43(x+y+z)2
Giờ ta chỉ cần cm:
(�2+1)(�2+1)≥34[1+(�+�)2](y2+1)(z2+1)≥43[1+(y+z)2]
⇔4(�2�2+�2+�2+1)≥3(�2+�2+2��+1)⇔4(y2z2+y2+z2+1)≥3(y2+z2+2yz+1)
⇔4�2�2+1+�2+�2−6��≥0⇔4y2z2+1+y2+z2−6yz≥0
⇔(2��−1)2+(�−�)2≥0⇔(2yz−1)2+(y−z)2≥0 (luôn đúng)
Do đó ta có điều phải chứng minh