\(HK=\frac{1}{2}.MN=\frac{1}{4}.AB=3cm\)

Ta có:

\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{4a}=\frac{1}{b^2-2b}\)

\(\Leftrightarrow13b^2-26b-12a=0\)

\(\Leftrightarrow12\left(a+b\right)=13b^2-14b\)

\(\Leftrightarrow a+b=\frac{13b^2-14b}{12}\)

\(\Leftrightarrow a+b=b^2-b+\frac{b^2-2b}{12}=b^2-b+\frac{b\left(b-2\right)}{12}\)

Dễ thấy b phải là số chẵn (1)

để \(\frac{b\left(b-2\right)}{2.2.3}\) nguyên thì

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b⋮3\\b-2⋮3\end{cases}}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=6k\\b-2=6k\end{cases}\left(k\ge1\right)}\)

Với \(b=6k\) thế vào ta được

\(a+b=\frac{13\left(6k\right)^2-14.\left(6k\right)}{12}=36k^2-7k\)

Dễ thấy hàm số \(f\left(k\right)=39k^2-7k\) là hàm đồng biết với \(k\ge1\)

Từ đây ta có a + b nhỏ nhất khi k nhơ nhất hay \(k=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=6\\a=26\\a+b=32\end{cases}}\)

Tương tự cho trường hợp \(b-2=6k\) sẽ tìm được GTNN của a + b

PS: Vì m thích làm sự đơn điệu của hàm số thôi. Nếu các b có cách khác thì cứ làm cho gọn nhé :)

\(\Rightarrow a=26\), \(b=6\)Còn cách làm thì giống như Bạn alibaba nguyễn đó bạn 

~ Chúc bạn học giỏi ~~~

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{2}\)

BĐT trên \(=\frac{9}{2}\). Còn cách làm thì giống bạn alibaba nguyễn .

~~~ Chúc bạn học giỏi ~~~

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+xy=3\left(1\right)\\2x^2+3xy=1+4x\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) + (2) ta được

\(3x^2+y^2+4xy-4-4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+x-2\right)\left(y+3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2-x\\y=-2-3x\end{cases}}\)

Thế \(y=2-x\)vào (1) ta được

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Tương tự cho trường hợp còn lại.

^{x2 + y2 + xy  = 3}

2x^2=(x+y)(2-xy)

2x^2=(x+y)(x^2+y^2-xy)

2x^2=x^3+y^3

2=x^2+y^2 

suy ra (x^3+y^3)-(x^2+y^2)=2x^2-2

x^3+y^3-x^2-y^2=2(x^2-1)

x^2(x-1)+y^2(y-1)=2(x-1)(x+1)

x^2(x-1)+y^2(y-1)=(x-1)(2x+2)

x^2(x-1)-(x-1)(2x+2)+y^2(y-1)=0

(x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0

Xét TH1 1<=x<=căn bậc 2

từ x^2+y^2=2 suy ra 0<=y<=1 

y<=1 suy ra y-1<=0 => y^2(y-1)<=0 (1)

x>=1 => x-1>=0 

1<=x<= căn bậc 2 => -3<=x^2-2x-2<=-2 căn bậc 2

=> (x-1)(x^2-2x-2)<=0 (2)

từ (1) và (2) =>(x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0 khi và chỉ khi x=y=1

Xét TH2 1<=y<= căn bậc 2 

từ x^2+y^2=2 suy ra 0<=x<=1 

y>=1 =>y-1>=0 =>y^2(y-1)>=0(3)

x<=1 => x-1<=0 

0<=x<=1 => -2<=x^2-2x-2<=-3

suy ra (x-1)(x^2-2x-2)>=0(4)

từ (3) và (4) => (x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0 khi và chỉ khi x=y=1  

vậy cặp số (x,y) duy nhất thỏa mãn đề bài là (1,1) 

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2\\2x^2=\left(x+y\right)\left(2-xy\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2\\2x^2=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\sqrt{2-x^2}\\2x^2=x^3+y^3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\sqrt{2-x^2}\left(1\right)\\2x^2-x^3=\sqrt{\left(2-x^3\right)}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(2x^2-x^3\right)^2=\left(2-x^2\right)^3\)

\(\Leftrightarrow2x^6-4x^5-2x^4+12x^2-8=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)\left(x^5-x^4-2x^3-2x^2+4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^5-x^4-2x^3-2x^2+4x+4=0\end{cases}}\)

Làm tiếp nhé

bài này hình như có trong sách Nâng cao phát triển toán 8?

BẠN DÙNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT ĐỂ C/M OM=ON

Vì OM // AB & OM // CD nên 

\(\frac{OM}{AB}=\frac{DM}{AD}\&\frac{OM}{CD}=\frac{AM}{AD}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AB}+\frac{OM}{CD}=\frac{DM}{AD}+\frac{AM}{AD}\)

\(\Leftrightarrow OM\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{DM+AM}{AD}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OM}\)(1)

TƯƠNG TỰ \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CB}=\frac{1}{ON}\)(2)

CỘNG VẾ VỚI VẾ CỦA (1) VÀ (2) TA CÓ:

\(2\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}\)MÀ OM=ON(C/M TRÊN) NÊN MN=2.OM

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{1}{OM}+\frac{1}{OM}=\frac{2}{OM}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{2.OM}=\frac{2}{MN}\left(ĐPCM\right)\)

Mình mới học lớp 5 thôi nên chỉ vẽ hình thôi à! Thông cảm nha!

Hình như sau:

Thấy đúng thì !

a, f(x)=( x - 100 )( x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x ) - x + 25

=>f(100) = - 75

a ) Kết quả là -75 như Quỳnh đã làm 

b) Có:

7y-7x=y³- y³

7*(y-x)=0

y=x=0

Vậy không có các số nguyên dương phân biệt x, y thỏa mãn đề bài.

Ta chứng minh

\(\frac{-1}{2}\le\frac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\left(1-ab\right)+\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b-1\right)^2\ge0\)(đúng)

Tương tự cho trường hợp còn lại ta có ĐPCM

Bạn trã lời cho mình được không