Ta có: \(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}-1-\frac{1}{\frac{a}{b}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2-\frac{a}{b}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\\\frac{a}{b}=\frac{-\sqrt{5}+1}{2}\end{cases}}\)

Thế \(\frac{a}{b}\) vào PT \(x^2-x-1\) ta thấy ĐPCM

ta có:

4s=1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+.........+k(k+1)(k+2)((k+3)-(k-1))

4s=1.2.3.4-1.2.3.0+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+........+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)

4s=k(k+1)(k+2)(k+3)

ta biết rằng tích 4 số tự nhiên liên tiếp khi cộng thêm 1 luôn là 1 số chính phương

=>4s+1 là 1 số chính phương

ta co:1/1*2*3=(1/1*2-1/2*3):2
1/2*3*4=(1/1*2-1/2*3):2
...
cu nhu the cho den:
1/98*99*100=(1/98*99-1/99*100):2
suy ra : 1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+...+1/98*99*100
=(1/1*2-1/2*3):2+(1/2*3-1/3*4):2+...+(1/98*99-1/99*100):2
=(1/1*2-1/2*3+1/2*3-1/3*4+...+1/98*99-1/99*100):2
=(1/1*2-1/99*100):2
=(1/2-1/9900)
=(4950/9000-1/9000):2
=4949/9000:2
=4949/18000
học tốt

+) Nếu x<0 ta có

x^6>0, x^5<0, x^4>0, x^3<0,x^2>0, x<0=>x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x > 0=>x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+3/4>0(trái với đề bài)

+)Nếu x > hoặc =0 thì x^6>x^5, x^4>x^3, x^2>x, 3/4>0 =>x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+3/4>0(trái với đề bài)

Vậy phương trình trên vô nghiệm

A B C H I K O

Ta có: 

\(\frac{OH}{AH}+\frac{OI}{BI}+\frac{OK}{CK}=\frac{\frac{OH.BC}{2}}{\frac{AH.BC}{2}}+\frac{\frac{OI.AC}{2}}{\frac{BI.AC}{2}}+\frac{\frac{OK.AB}{2}}{\frac{CK.AB}{2}}\)

\(=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{COA}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Đường cao không cần kí hiệu vuông góc ạ?!

Ta có  \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) 

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}=\frac{c-\left(a+b+c\right)}{c\left(a+b+c\right)}=\frac{-a-b}{c\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\) \(c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)\left(ca+cb+c^2+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a\end{cases}}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3=-b^3\\b^3=-c^3\\c^3=-a^3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3+b^3=0\\b^3+c^3=0\\c^3+a^3=0\end{cases}}}\) 

(ko có kí hiệu hoặc cho 3 cái nên mk dùng kí hiệu và nhé)

Do đó \(A=\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=0\)

em mới học lớp 5 nên ko giúp đc gì, mong chị tha lỗi. chúc chị học giỏi nha

Thánh viết đề.

Sửa đề: Tìm Max của : 

\(N=2004-x^2-2y^2-2xy+6y\)

\(=-\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(y^2-6y+9\right)+2013\)

\(=2013-\left(x+y\right)^2-\left(y-3\right)^2\le2013\)

mk mới lớp 5 nên ko giúp đc gì, chúc bạn học giỏi nha

Ta có:

x²​y + y²z + z²x + zx² + yz² + xy² - x³ - y³ - z³ > 0

\(\Leftrightarrow\)(x²y + zx² - x³) + (y²z + xy² - y³) + (z²x + z²y - z³) > 0

\(\Leftrightarrow\)x²(y + z - x) + y²(z + x - y) + z²(x + y - z) > 0 (đúng)

Vì x,y,z là 3 cạnh của tam giác nên tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còng lại.

mk mới học lớp 5 thôi nên ko giúp đc gì, thông cảm nha! chúc cậu học giỏi

Cô sẽ áp dụng đồng dư để chứng minh, Tuấn có thể trình bày cách của em để mọi người tìm hiểu.
\(Q=\frac{\left(2016+1\right)2016}{2}=2017.3^2.2^4.7\).
ÁP dụng định lý Fermat nhỏ: \(a^{p-1}=1\left(modp\right)\). Nhận xét rằng 2017 là số nguyên tố vì vậy
\(\left(n,2017\right)=1,\)với mọi n  = 1, 2, ..., 2016.
Do đó \(n^{2016}=1\left(mod2017\right),n=1,....,2016\).
Vì vậy: \(n^{2017}=n\left(mod2017\right),n=1,2,...,2017\).
Suy ra: \(1^{2017}+2^{2017}+.....+2016^{2017}=1+2+...+2016\left(mod2017\right)\)
                                                                        \(=2017.1008\left(mod2017\right)\)\(=0\left(mod2017\right)\)
Vì vậy \(1^{2016}+2^{2016}+....+2016^{2016}=0\left(mod2017\right)\).
Ta sẽ chứng minh P chia hết cho \(2^4\) .
Nhận xét rằng \(n=2k\left(k\in N\right),n=\left(2k\right)^{2017}=0\left(mod2^4\right)\).
Xét những hạng tử không chia hết cho 2 là 1, 3, 5, ....., 2015.
Áp dụng định lý Euler : \(a^{\varphi\left(n\right)}=1\left(modn\right),\left(a,n\right)=1\).
Do n = 1, 3, 5, ...., 2015 thì \(\left(n,2^4\right)=1\)( Ước chung lớn nhất bằng 1) , \(\varphi\left(16\right)=8\) nên :
\(n^{2017}=n^{8.252+1}=n\left(n^8\right)^{252}=n\left(mod2^4\right)\)( Do \(n^8=1\left(mod2^4\right)\).
Vì vậy : \(1^{2017}+3^{2017}+...+2015^{2017}=1+3+...2015\left(mod2^4\right)\)
                                                                       \(=2016.504\left(mod2^4\right)\)
                                                                        \(=0\left(mod2^4\right)\).
Vì vậy \(1^{2017}+2^{2017}+.....+2016^{2017}=0\left(mod2^4\right)\)
Những số còn lại là \(3^2,7\)ta chứng minh tương tự.
 

\(a^n+b^n\) chia hết cho a+b với n lẻ 
áp dụng cái trên là đc nhé bạn 

Ta có:

\(\frac{ab}{a+b}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{4}\) (1)

Tương tự ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}\\\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\end{cases}}\)

Cộng 3 cái trên vế theo vế ta được

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

xin lỗi chị em mới học lớp 5 nên ko biết 

Chúc chị luôn luôn học giỏi

(=^.^=)   (>^.^<)