Ta có: \(n^4+\frac{1}{4}=\frac{4n^4+1}{4}=\left(2n^2+2n+1\right)\left(2n^2-2n+1\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(A=\frac{\frac{3.5}{4}.\frac{13.25}{4}...\frac{1625.1741}{4}}{\frac{5.13}{4}.\frac{25.41}{4}...\frac{1741.1861}{4}}=\frac{3}{1861}\)

Ta có :

    \(n^4+\frac{1}{4}=\frac{4n^4+1}{4}\)

               \(=\left(2n^2+2n+1\right)\left(2n^2-2n+1\right)\)

   áp dụng theo đầubài của bài toán 

        Ta có :

            \(=\frac{\frac{3\times5}{4}\times\frac{13\times25}{4}\times...\times\frac{1625\times1741}{4}}{\frac{5\times13}{4}\times\frac{25\times41}{4}\times...\times\frac{1741\times1861}{4}}=\frac{3}{1861}\)

a) Vì m, n, p là các số tự nhiên lẻ nên ta có thể đặt m = 2a + 1; n = 2b + 1; p = 2c + 1

Khi đó

 \(mn+np+pm=\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)+\left(2b+1\right)\left(2c+1\right)+\left(2c+1\right)\left(2a+1\right)\)

\(=4ab+2a+2b+1+4bc+2b+2c+1+4ca+2c+2a+1\)

\(=4\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)+3\)

Vậy thì mn + np + pm chia 4 dư 3.

b) Ta chứng minh một số chính phương n chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Thật vậy:

Nếu n là bình phương số chẵn thì n = (2k)² = 4k² chia hết 4

Nếu n là bình phương số lẻ thì n = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 chia 4 dư 1.

Vậy do mn + np + pm chia 4 dư 3 nên mn + np + pm không là số chính phương.

Do đa thức (x - 1)(x - 3) là đa thức bậc hai nên đa thức dư khi chia cho nó sẽ có dạng ax + b

Đặt \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)g\left(x\right)+ax+b\)

Ta có :

\(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)g\left(x\right)+ax+b=\left(x-1\right)\left(x-3\right)g\left(x\right)+a\left(x-1\right)+\left(a+b\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left[\left(x-3\right)g\left(x\right)+a\right]+\left(a+b\right)\)

Do P(x) chia (x - 1) dư 4 nên a + b = 4​​​

\(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)g\left(x\right)+ax+b=\left(x-3\right)\left(x-1\right)g\left(x\right)+a\left(x-3\right)+\left(3a+b\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)g\left(x\right)+a\right]+\left(3a+b\right)\)

Do P(x) chia (x - 3) dư 14 nên 3a + b = 14​​​

Vậy nên ta tìm được a = 5, b = -1 hay đa thức dư là 5x - 1.

Đơn giản hóa x 3 + -10x 2 + 25 = 0

Sắp xếp lại các điều khoản: 25 + -10 x 2 + x 3 = 0

Giải quyết 25 + -10 x 2 + x 3 = 0 Giải quyết cho biến 'x'.

Giải pháp cho phương trình này không thể xác định.

bang: 5 nha ban 

Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10^n + k
Vì :10^n = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k^2+k+k = 9k^2 + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
vậy a+b+1= 9k^2 +2k+4k+1 = <3k>^2 +2.3k.1 +1^2 = <3k +1>^2
Vậy a+b+1 là một số chính phương

Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10^n + k
Vì :10^n = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k^2+k+k = 9k^2 + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
vậy a+b+1= 9k^2 +2k+4k+1 = <3k>^2 +2.3k.1 +1^2 = <3k +1>^2
Vậy a+b+1 là một số chính phương

A B C D M I E H K F \

Từ M kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của hình chữ nhật

E đối xứng với I qua trung điểm AD

=>\(AM.MC+BM.MD=HI.KF+IK.FH=EH.EK+HF.HK\)\(\ge2S_{HEK}+2S_{HFK}=S_{ABKD}+S_{BHKC}=S_{ABCD}=AB.BC\)

rssbdsbdsbsb

\(a^{2017}+a^{2018}+1=\left(a^{2017}-a\right)+\left(a^{2018}-a^2\right)+\left(a^2+a+1\right)\)

mà \(\left(a^{2017}-a\right)=a\left(a^{2016}-1\right)=a\left(\left(a^3\right)^{672}-1\right)⋮\left(a^3-1\right)⋮a^2+a+1\)

\(a^{2018}-a^2=a^2\left(a^{2016}-1\right)⋮a^2+a+1\)

=> \(a^{2017}+a^{2018}+1⋮a^2+a+1\)

Ta có: 

\(x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^2}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}=6-\sqrt{35}\)

Vì x là nghiệm của P(x) nên \(P\left(x\right)=x^3+ax^2+bx-1⋮\left(x-6+\sqrt{35}\right)\)

Ta có: \(P\left(x\right)=x^3+ax^2+bx-1\)

\(=\left(x-6+\sqrt{35}\right)\left(x^2+\left(a+6-\sqrt{35}\right)x+\left(6-\sqrt{35}\right)a+\left(6-\sqrt{35}\right)^2+b\right)+\left(6-\sqrt{35}\right)^2a+\left(6-\sqrt{35}\right)^3+\left(6-\sqrt{35}\right)b-1\)

Để nó là phép chia hết thì: 

\(\left(6-\sqrt{35}\right)^2a+\left(6-\sqrt{35}\right)^3+\left(6-\sqrt{35}\right)b-1=0\)

\(\Leftrightarrow b=\frac{1-\left(6-\sqrt{35}\right)^2a-\left(6-\sqrt{35}\right)^3}{6-\sqrt{35}}\left(1\right)\)

Với mọi a, b thoản mãn (1) thì P(x) sẽ có nghiệm \(x=6-\sqrt{35}\)

A B C M K I N D

a) MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC và MN = 1/2 BC

=> MNCB là hình thang

b) MN = 1/2 BC = 1/2 12,5 = 6,25 cm

c) ADBN là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

DN = 2. MN = BC

d) Ta có MN//BK

=> tam giác IMN đồng dạng với tam giác IBK

=> BK/MN = IB/IN = 1/2 => BK = 1/2 MN

Mà MN = 1/2 DN = 1/2 BC

=> BK = 1/2 MN = 1/2 . 1/2 BC = 1/4 BC

=> KC = BC - BK = BC - 1/4 BC = 3/4 BC

Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [A, D] Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [D, C] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [B, E] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [D, F] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [H, B] Đoạn thẳng c: Đoạn thẳng [D, K] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [C, K] Đoạn thẳng e: Đoạn thẳng [H, C] Đoạn thẳng f_1: Đoạn thẳng [H, K] A = (3.41, -6.39) A = (3.41, -6.39) A = (3.41, -6.39) D = (29.5, -6.48) D = (29.5, -6.48) D = (29.5, -6.48) B = (12.08, 5.05) B = (12.08, 5.05) B = (12.08, 5.05) Điểm C: Giao điểm đường của h, i Điểm C: Giao điểm đường của h, i Điểm C: Giao điểm đường của h, i Điểm E: Giao điểm đường của m, l Điểm E: Giao điểm đường của m, l Điểm E: Giao điểm đường của m, l Điểm F: Giao điểm đường của n, l Điểm F: Giao điểm đường của n, l Điểm F: Giao điểm đường của n, l Điểm H: Giao điểm đường của r, t Điểm H: Giao điểm đường của r, t Điểm H: Giao điểm đường của r, t Điểm K: Giao điểm đường của s, a Điểm K: Giao điểm đường của s, a Điểm K: Giao điểm đường của s, a

1/ Xét tam giác ABE và CDF có:

\(\widehat{AEB}=\widehat{CFD}=90^o\)

AB = CD (Hai cạnh đối của hình bình hành)

\(\widehat{BAE}=\widehat{DCF}\) (So le trong)

nên \(\Delta ABE=\Delta CDF\) (Cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow BE=DF\)

Lại có BE và DF cùng vuông góc với AC nên BE // DF

Xét tứ giác BEDF có BE // DF và BE = DF nên BEDF là hình bình hành,

2/ Ta có do BC// AD nên \(\widehat{HBC}=\widehat{BAD}\)  (Hai góc đồng vị)

Dó AB// CD nên \(\widehat{KDC}=\widehat{BAD}\)  (Hai góc đồng vị)

Vậy nên \(\widehat{KDC}=\widehat{HBC}\)

Suy ra \(\Delta CHB\sim\Delta CKD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CD}\Rightarrow\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{AB}\)  

Theo tính chất góc ngoài, ta có \(\widehat{ABC}=\widehat{BHC}+\widehat{HCB}=90^o+\widehat{HCB}\)

Do BC // AD; \(CK\perp AD\Rightarrow CK\perp BC\)

Suy ra  \(\widehat{KCH}=\widehat{KCB}+\widehat{HCB}=90^o+\widehat{HCB}\)

Vậy \(\widehat{ABC}=\widehat{KCH}\)

Xét tam giác ABC và KCH có:

\(\widehat{ABC}=\widehat{KCH}\)

\(\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{AB}\)

nên \(\Delta ABC\sim\Delta KCH\left(c-g-c\right)\)

*)  Ta có \(\Delta ABE\sim\Delta ACH\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AH}\Rightarrow AB.AH=AC.AE\)

Tương tự \(\Delta AFD\sim\Delta AKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AD.AK=AC.AF\)

Suy ra \(AB.AH+AD.AK=AC.AE+AC.AF=AC\left(AE+AF\right)\)

Theo câu a, \(\Delta ABE=\Delta CDF\Rightarrow AE=CF\)

Vậy thì AE + AF = CF + AF = AC

Hay AB.AH + AD.AK = AC.AC = AC²

cảm ơn bạn nhiều ạ ! @Hoàng_Thị_Thu_Huyền !