A B C H I K O

Ta có: 

\(\frac{OH}{AH}+\frac{OI}{BI}+\frac{OK}{CK}=\frac{\frac{OH.BC}{2}}{\frac{AH.BC}{2}}+\frac{\frac{OI.AC}{2}}{\frac{BI.AC}{2}}+\frac{\frac{OK.AB}{2}}{\frac{CK.AB}{2}}\)

\(=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{COA}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Đường cao không cần kí hiệu vuông góc ạ?!

Ta có  \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) 

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}=\frac{c-\left(a+b+c\right)}{c\left(a+b+c\right)}=\frac{-a-b}{c\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\) \(c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)\left(ca+cb+c^2+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a\end{cases}}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3=-b^3\\b^3=-c^3\\c^3=-a^3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3+b^3=0\\b^3+c^3=0\\c^3+a^3=0\end{cases}}}\) 

(ko có kí hiệu hoặc cho 3 cái nên mk dùng kí hiệu và nhé)

Do đó \(A=\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=0\)

em mới học lớp 5 nên ko giúp đc gì, mong chị tha lỗi. chúc chị học giỏi nha

Thánh viết đề.

Sửa đề: Tìm Max của : 

\(N=2004-x^2-2y^2-2xy+6y\)

\(=-\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(y^2-6y+9\right)+2013\)

\(=2013-\left(x+y\right)^2-\left(y-3\right)^2\le2013\)

mk mới lớp 5 nên ko giúp đc gì, chúc bạn học giỏi nha

Ta có:

x²​y + y²z + z²x + zx² + yz² + xy² - x³ - y³ - z³ > 0

\(\Leftrightarrow\)(x²y + zx² - x³) + (y²z + xy² - y³) + (z²x + z²y - z³) > 0

\(\Leftrightarrow\)x²(y + z - x) + y²(z + x - y) + z²(x + y - z) > 0 (đúng)

Vì x,y,z là 3 cạnh của tam giác nên tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còng lại.

mk mới học lớp 5 thôi nên ko giúp đc gì, thông cảm nha! chúc cậu học giỏi

Cô sẽ áp dụng đồng dư để chứng minh, Tuấn có thể trình bày cách của em để mọi người tìm hiểu.
\(Q=\frac{\left(2016+1\right)2016}{2}=2017.3^2.2^4.7\).
ÁP dụng định lý Fermat nhỏ: \(a^{p-1}=1\left(modp\right)\). Nhận xét rằng 2017 là số nguyên tố vì vậy
\(\left(n,2017\right)=1,\)với mọi n  = 1, 2, ..., 2016.
Do đó \(n^{2016}=1\left(mod2017\right),n=1,....,2016\).
Vì vậy: \(n^{2017}=n\left(mod2017\right),n=1,2,...,2017\).
Suy ra: \(1^{2017}+2^{2017}+.....+2016^{2017}=1+2+...+2016\left(mod2017\right)\)
                                                                        \(=2017.1008\left(mod2017\right)\)\(=0\left(mod2017\right)\)
Vì vậy \(1^{2016}+2^{2016}+....+2016^{2016}=0\left(mod2017\right)\).
Ta sẽ chứng minh P chia hết cho \(2^4\) .
Nhận xét rằng \(n=2k\left(k\in N\right),n=\left(2k\right)^{2017}=0\left(mod2^4\right)\).
Xét những hạng tử không chia hết cho 2 là 1, 3, 5, ....., 2015.
Áp dụng định lý Euler : \(a^{\varphi\left(n\right)}=1\left(modn\right),\left(a,n\right)=1\).
Do n = 1, 3, 5, ...., 2015 thì \(\left(n,2^4\right)=1\)( Ước chung lớn nhất bằng 1) , \(\varphi\left(16\right)=8\) nên :
\(n^{2017}=n^{8.252+1}=n\left(n^8\right)^{252}=n\left(mod2^4\right)\)( Do \(n^8=1\left(mod2^4\right)\).
Vì vậy : \(1^{2017}+3^{2017}+...+2015^{2017}=1+3+...2015\left(mod2^4\right)\)
                                                                       \(=2016.504\left(mod2^4\right)\)
                                                                        \(=0\left(mod2^4\right)\).
Vì vậy \(1^{2017}+2^{2017}+.....+2016^{2017}=0\left(mod2^4\right)\)
Những số còn lại là \(3^2,7\)ta chứng minh tương tự.
 

\(a^n+b^n\) chia hết cho a+b với n lẻ 
áp dụng cái trên là đc nhé bạn 

Ta có:

\(\frac{ab}{a+b}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{4}\) (1)

Tương tự ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}\\\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\end{cases}}\)

Cộng 3 cái trên vế theo vế ta được

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

xin lỗi chị em mới học lớp 5 nên ko biết 

Chúc chị luôn luôn học giỏi

(=^.^=)   (>^.^<)

\(HK=\frac{1}{2}.MN=\frac{1}{4}.AB=3cm\)

Ta có:

\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{4a}=\frac{1}{b^2-2b}\)

\(\Leftrightarrow13b^2-26b-12a=0\)

\(\Leftrightarrow12\left(a+b\right)=13b^2-14b\)

\(\Leftrightarrow a+b=\frac{13b^2-14b}{12}\)

\(\Leftrightarrow a+b=b^2-b+\frac{b^2-2b}{12}=b^2-b+\frac{b\left(b-2\right)}{12}\)

Dễ thấy b phải là số chẵn (1)

để \(\frac{b\left(b-2\right)}{2.2.3}\) nguyên thì

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b⋮3\\b-2⋮3\end{cases}}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=6k\\b-2=6k\end{cases}\left(k\ge1\right)}\)

Với \(b=6k\) thế vào ta được

\(a+b=\frac{13\left(6k\right)^2-14.\left(6k\right)}{12}=36k^2-7k\)

Dễ thấy hàm số \(f\left(k\right)=39k^2-7k\) là hàm đồng biết với \(k\ge1\)

Từ đây ta có a + b nhỏ nhất khi k nhơ nhất hay \(k=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=6\\a=26\\a+b=32\end{cases}}\)

Tương tự cho trường hợp \(b-2=6k\) sẽ tìm được GTNN của a + b

PS: Vì m thích làm sự đơn điệu của hàm số thôi. Nếu các b có cách khác thì cứ làm cho gọn nhé :)

\(\Rightarrow a=26\), \(b=6\)Còn cách làm thì giống như Bạn alibaba nguyễn đó bạn 

~ Chúc bạn học giỏi ~~~

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{2}\)

BĐT trên \(=\frac{9}{2}\). Còn cách làm thì giống bạn alibaba nguyễn .

~~~ Chúc bạn học giỏi ~~~