Với ý tưởng đưa về dạng: \(y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\),ta làm như sau:

Từ đề bài suy ra\(x^2-4x+5=xy-y\)

\(\Rightarrow x^2-4x+5=y\left(x-1\right)\)

Với x = 1 thì \(y=0;x^2-4x+5=2\)(loại)

Xét x khác 1.Chia hai vế cho x- 1:

\(y=\frac{x^2-4x+5}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)^2}{x-1}-\frac{2x-4}{x-1}\)

\(=x-1-\frac{2\left(x-2\right)}{x-1}=x-1-\left[\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}-\frac{2}{x-1}\right]\)\(=x-3+\frac{2}{x-1}\)

Để y nguyên thì x - 1 nguyên.Suy ra \(x-1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

Tới đây tính x.Thay ngược lại biểu thức tính y.Mọi việc quá đơn giản :D

\(x^2+y+5=4x+xy\\ \Leftrightarrow x^2-xy+y-4x+5=0\)

\(\Leftrightarrow-x\left(y-4x\right)+y-4x+5x^2-5+10=0\\ \Leftrightarrow\left(y-4x\right)\left(1-x\right)-5\left(1-x^2\right)=-10\)

\(\Leftrightarrow\left(y-4x\right)\left(1-x\right)-5\left(1-x\right)\left(1+x\right)=-10\\ \Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(y-4x-5-5x\right)=-10\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(y-5-9x\right)=-10\)

Vì x,y thuộc Z nên -10 = -1.10 = 10.-1 = 1.-10 = -10.1 = 2.-5 = -5.2 = -2.5 = 5.-2

Ta lập bảng để xét lần lượt các cặp của x,y rồi thử lại
Chúc bạn học tốt ^^

Ta có: \(\Delta ABM\)

=> AB + BM > AD ( BĐT tam giác) (1)

Ta có :\(\Delta AMC\)

=> AC + CM > AD ( BĐT tam giác) (2)

Từ 1;2 => AB + BM + AC + CM > 2AD

=> AB + AC +BC > 2AD

=> \(AB + AC + BC \over 2 \)> AD (*)

Ta có: \(\Delta ABM\)

=> AB - BM < AD ( hệ quả BĐT tam giác) (3)

Ta có :\(\Delta AMC\)

=> AC - CM < AD ( hệ quả BĐT tam giác) (4)

Từ 3;4 => AB - BM + AC - CM < 2AD

=> AB + AC - BC < 2AD

=> \(AB + AC - BC \over 2 \)< AD (**)

Từ *;** => \(AB + AC - BC \over 2\) < AD < \(AB + AC + BC \over 2 \)

xét tam giác ABM có:

AB+BM>AD                      (1)

xét tam giác AMB có:

AC+CM>AD                      (2)

từ (1) và (2) ta có: AB+BM+AC+CM>2AD

=>AB+AC+BC=2AD

\(\Rightarrow\frac{AB+AC+BC}{2}>AD.\)

chứng minh gần tương tự ta được \(\frac{AB+AC-BC}{2}< AD.\)

suy ra đpcm

C A B D E M N O I

Gọi O là giao điểm của CM và AD; I là giao điểm của CN và BE.

Do AD là tia phân giác góc A nên ta thấy ngay \(\Delta ACD=\Delta AMD\) (Cạnh huyền góc nhọn)

Vậy thì AC = AM; DC = DM hay AD là trung trực của CM. Vậy nên \(\widehat{COD}=90^o.\)

Từ đó ta có \(\widehat{OCD}+\widehat{CDO}=90^o\)  mà \(\widehat{CAD}+\widehat{CDO}=90^o\Rightarrow\widehat{OCD}=\widehat{CAD}=\frac{\widehat{CAB}}{2}\)

Hoàn toàn tương tự \(\widehat{ACN}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\)

Ta có \(\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow2\widehat{ACN}+2\widehat{BCM}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ACN}+\widehat{BCM}=45^o\Rightarrow\widehat{MCN}=90^o-45^o=45^o.\)

45^o bạn ạ, hihi^_^,tk mÌNH nha

Bạn thêm điều kiện m,n là số tự nhiên nhé!

Giải như sau : 

Với n là số tự nhiên thì ta luôn có 2n là số chẵn.

Xét trong giả thiết thì các hạng tử có số mũ chẵn.

Vậy thì ta có : \(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+...+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\ge0\)

Kết hợp với giả thiết bài toán ta được \(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+...+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}=0\)

\(\Leftrightarrow x_ip-y_iq=0\) (i = 1,2,...,m)

\(\Leftrightarrow x_ip=y_iq\Leftrightarrow\frac{x_i}{y_i}=\frac{q}{p}\)

Ta thay i = 1,2,...,m thì được : \(\frac{q}{p}=\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=...=\frac{x_m}{y_m}=\frac{x_1+x_2+...+x_m}{y_1+y_2+...+y_m}\) (áp dụng tính chất dãy tỉ sô bằng nhau)

hay : \(\frac{x_1+x_2+...+x_m}{y_1+y_2+...+y_m}=\frac{q}{p}\) (đpcm)

đùa à ko biết 

Ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\Rightarrow\frac{a^4}{b^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{2a^4}{2b^4}=\frac{2b^4}{2c^4}=\frac{2c^4}{2d^4}=\frac{2d^4}{2e^4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỹ số bằng nhau ta có:

\(\frac{2a^4}{2b^4}=\frac{2b^4}{2c^4}=\frac{2c^4}{2d^4}=\frac{2d^4}{2e^4}=\frac{2a^4+2b^4+2c^4+2d^4}{2b^4+2c^4+2d^4+2e^4}\)

em nghĩ là c ghi sai đề :)

Sửa lai đề : Cho a;b;c;d;e khác 0

CM :  \(\frac{2a^4+3b^4+4c^4+5d^4}{2b^4+3c^4+4d^4+5c^4}=\frac{a}{e}\)

Giải : 

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}=k\)

\(\Rightarrow k^4=\frac{a^4}{b^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{2a^4}{2b^4}=\frac{3b^4}{3c^4}=\frac{4c^4}{4d^4}=\frac{5d^4}{5e^4}\)

Áp dụng TC DTSBN ta được : \(k^4=\frac{2a^4+3b^4+4c^4+5d^4}{2b^4+3c^4+4d^4+5e^4}\)(1)

Ta lại có : \(k^4=k.k.k.k=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}.\frac{d}{e}=\frac{a}{e}\) (2)

Từ (1) ; (2) => \(\frac{2a^4+3b^4+4c^4+5d^4}{2b^4+3c^4+4d^4+5c^4}=\frac{a}{e}\) (đpcm)

😅

Em xem lại đề, nó bị sai rồi :)

Ta có hình vẽ :

  B A C N I K M

Trên BC lấy \(I\) và \(K\) sao cho \(\widehat{BOI}=\widehat{COK}=30^o\)

 Xét \(\Delta OMB\) Và \(\Delta OIB\) ta có :

   \(\widehat{MOB}=\widehat{IOB}=30^o\)

BO là cạnh chung.

 \(\widehat{MBO}=\widehat{IBO}\) ( trước tia phân giác )

\(\Leftrightarrow\Delta OMB=\Delta OIB\)

\(\Leftrightarrow MB=IB\) ( HAI CẠNH TƯƠNG TỰ)

Xét \(\Delta NOC\) Và \(\Delta KOC\) có :

 Góc \(NOC=\) Góc \(KOC=30^o\)

  OC là chung.

Góc \(DCO=KOC\) ( TRƯỚC TIA PHÂN GIÁC )

\(\Leftrightarrow\Delta NCO=\Delta KOC\)

\(\Leftrightarrow CN=CK\) ( 2 CẠNH TƯƠNG ỨNG )

Mà \(BC=BI+IK+KC=BM+IK+NC\)

   \(\Leftrightarrow BE+CD< BC\)

    \(\LeftrightarrowĐPCM\)

tai sao goc MOB = NOC = 30 do LE QUNG DUNG

Ta thấy 17 là số nguyên tố, vậy để một số tự nhiên x có 17 ước số thì x có dạng \(x=t^{16}=\left(t^8\right)^2\), với t là số nguyên tố. Vậy x phải là số chính phương.

Đặt \(n=\left(x-1\right)^2+x+\left(x+1\right)^2=3x^2+2\). n có dạng 3k + 2.

Vậy n không thể là số chính phương.

Từ đó suy ra n không thể có 17 ước số.

Ta thấy 17 là số nguyên tố, vậy để một số tự nhiên x có 17 ước số thì x có dạng \(x=t^{16}=\left(t^8\right)^2\), với t là số nguyên tố. Vậy x phải là số chính phương.

Đặt\( n=\left(x-1\right)^2+x+\left(x+1\right)^2=3x^2+2\). n có dạng 3k + 2.

Vậy n không thể là số chính phương.

Từ đó suy ra n không thể có 17 ước số.

Gọi chữ số nhỏ nhất là a => số có 3 chữ số là a, 2a, 3a với 3a ≤ 9 => a ≤ 3. Do số cần tìm chia hết cho 18, tức chia hết cho 9 nên (a + 2a + 3a) = 6a chia hết cho 9 => a chia hết cho 3, vậy a = 3 => 3 chữ số là 3, 6, 9 
Số cần tìm là số chẵn do chia hết cho 2 vậy chữ số cuối là 6 
=> số cần tìm là 396 hoặc 936

tỉ lệ tổng là 9

số đó là 180

gọi chung các số nguyên tố lớn hơn 2 hoặc 3 là p

p là số nguyên tố lớn hơn 2 và 3 nên khi chia p cho 6 sẽ xảy ra các trường hợp sau: p chia hết cho 6, p : 6 dư 1, p : 6 dư 2, p : 6 dư 3, p : 6 dư 4, p : 6 dư 5

=> p sẽ có các dạng sau: 6m; 6m + 1; 6m + 2; 6m + 3; 6m + 4; 6m +5 hay 6m - 1

Ta thấy: 6m chia hết cho 6; 6m + 2 và 6m + 4 chia hết cho 2; 6m + 3 chia hết cho 3; các dạng trên là hợp số

Mà p là số nguyên tố lơn hơn 2 và 3 => p chỉ có 1 trong 2 dạng : 6m + 1 và 6m - 1

Vậy các số nguyên tố lớn hơn 2 hoặc 3 đều có thể viết được dưới dạng 6m+1 hoặc 6m-1

Các số nguyên tố khác 2 và 3 có thể dạng:

6m+1

6m+2

6m+3

6m+4

6m+5

Thấy: 6m-1 cũng có dạng 6m+5

Vì 6m+2,6m+4 chia hết cho 2 nên bỏ

Vì 6m+3 chia hết cho 3 nên bỏ nốt

Còn 6m+1 và 6m +5 hay còn là 6m+1 và 6m-1

Từ đó ta có thể khẳng định: mọi số nguyên tố khác 2 và 3 đều  có dạng 6m+1 hoặc 6m-1