A B C I D E F N M P Q 1 1

Không mất tính tổng quát , giả sử AB < AC ( bỏ qua trường hợp đơn giản AB = AC )

Dễ thấy P là điểm chính giữa \(\widebat{EF}\) nên D,N,P thẳng hàng

Cần chứng minh \(\widehat{IMC}=\widehat{PDC}\)

Ta có : \(\widehat{IMC}=\widehat{MIB}+\widehat{B_1}=\frac{1}{2}\widehat{BIC}+\widehat{B_1}=\frac{1}{2}\left(180^o-\widehat{B_1}-\widehat{C_1}\right)+\widehat{B_1}\)

\(=\frac{1}{2}\left(180^o-\frac{\widehat{ABC}}{2}-\frac{\widehat{ACB}}{2}\right)+\frac{\widehat{ABC}}{2}=90^o+\frac{\widehat{ABC}}{4}-\frac{\widehat{ACB}}{4}\)

\(\widehat{PDC}=\widehat{PDE}+\widehat{EDC}=\frac{1}{2}\widehat{EDF}+\widehat{EDC}\)\(=\frac{1}{2}\left(180^o-\widehat{FDB}-\widehat{EDC}\right)+\widehat{EDC}\)

\(=90^o-\frac{\widehat{FDB}}{2}+\frac{\widehat{EDC}}{2}=90^o-\frac{90^o-\widehat{B_1}}{2}+\frac{90^o-\widehat{C_1}}{2}\)

\(=90^o+\frac{\widehat{ABC}}{4}-\frac{\widehat{ACB}}{4}\)

\(\Rightarrow\widehat{IMC}=\widehat{PDC}\Rightarrow IM//ND\)

b) Theo câu a suy ra \(\widehat{MID}=\widehat{IDP}\)

Mà \(\Delta PID\)cân tại I ( do IP = ID ) nên \(\widehat{IPD}=\widehat{IDP}\)

Suy ra \(\widehat{MID}=\widehat{IPD}=\widehat{QPN}\)

\(\Rightarrow\Delta IDM\approx\Delta PQN\left(g.g\right)\)

c) từ câu b \(\Rightarrow\frac{IM}{PN}=\frac{ID}{PQ}=\frac{IP}{PQ}\)( 1 ) 

Theo hệ thức lượng, ta có : \(IQ.IA=IE^2=IP^2\)

Do đó : \(\frac{QP}{IP}=1-\frac{IQ}{IP}=1-\frac{IP}{IA}=\frac{PA}{IA}\)

Suy ra  \(\frac{IP}{QP}=\frac{IA}{PA}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{IM}{PN}=\frac{IA}{PA}\)kết hợp với IM // PN suy ra A,M,N thẳng hàng

Do K đối xứng với D qua trung điểm của BC nên ta có

\(BD=CK,BK=CD\)

Dựng đường kính DF của (I). Theo hình , thì ta  được ba điểm A, F , K thẳng hàng

ta có\(\widehat{KDL}=\widehat{DIC}\left(=90^0-\widehat{CID}\right)=>\)tam giác IDC = tam giác DKL (g.g), từ đó suy ra

\(\frac{DF}{DK}=\frac{2ID}{DK}=\frac{2DC}{KL}=\frac{KB}{KN}\)

=> tam giác DFK = tam giác KBN (c.g.c)

zì zậy nên : \(\widehat{KNB}=\widehat{DKF}=90^0-\widehat{NKF}\)

=>\(\widehat{KNB}+\widehat{NKF}=90^0,\)do đó \(AK\perp BN\)

Đề quá xấu! 

Đặt \(x=12\sqrt{2}-17\). Chứng minh \(A\ge x\). Tìm điểm rơi giúp em cái đã rồi em suy nghĩ tiếp chứ tình hình này là thua rồi:))

Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}\)