d)  2 tam giác MCN và ACN có cùng chiều cao hạ từ C đến AN nên: \(\frac{S_{MCN}}{S_{ACN}}=\frac{MN}{AN}\)                              (1)

2 tam giác BMN và ABN có cùng chiều cao hạ từ B đến AN nên: \(\frac{S_{BMN}}{S_{ABN}}=\frac{MN}{AN}\)                                 (2)

Từ  (1)  và  (2)  ta suy ra \(\frac{MN}{AN}=\frac{S_{MCN}}{S_{ACN}}=\frac{S_{BMN}}{S_{ABN}}=\frac{S_{MCN}+S_{BMN}}{S_{ACN}+S_{ABN}}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{MN}{AN}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}\)

Chứng minh tương tự ta có \(\frac{MP}{BP}=\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}\)và \(\frac{MQ}{CQ}=\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}\)

Do đó \(\frac{MN}{AN}+\frac{MP}{BP}+\frac{MQ}{CQ}=\frac{S_{MBC}+S_{AMC}+S_{ABM}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)(đpcm).

a) Tg OBD và Tg ECO có 
g OBD = g ECO (tg ABC cân tại A) (1) 
g BOD = g OEC (gt) (2) 
(1) và (2) => Tg OBD đồng dạng Tg ECO 
=>OB/EC = BD/CO => OB*CO = EC*BD. 
Mà OB = CO => OBbình = EC*BD 
b) Ta có: gDOE = 180 độ - (gBOD + gEOC) 
= 180 độ - (gOEC + gCOE) 
= 180 độ - (180 độ - gOCE) 
= gOCE = gBCA = const (3) 
c) Theo câu a: Tg OBD đồng dạng Tg ECO => OD/EO = BD/CO => OD/ EO = BD/BO => 
=> OD*BO = EO*BD => EO/OB = OD/BD (4) 
Mặt khác: từ(3) =>gDOE = gOBD (5) 
từ (4) và (5) => TgEOD đồng dạng TgOBD 

Đặt \(B=xy=2013-A\) thế vô cái cần tìm thì được

\(5x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+20x^4-10x^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow20x^4-10x^2+1+B^2=0\)

\(\Leftrightarrow B^2=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{20}x^2-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le B\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le2013-A\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2012,3\le A\le2013,5\)

bạn chưa ghi gtnn , gtln xảy ra khi x=? và y=?

(x²+1/x^2-2)+(y²+1/y^2-2)=0

(x-1/x)^2+(y-1/y)^2=0

=>{x-1/x=0;y-1/y=0

(x²+1/x^2-2)+(y²+1/y^2-2)=0

(x-1/x)^2+(y-1/y)^2=0

=>{x-1/x=0;y-1/y=0

Ta có:

(n2−8)2+36

=n4−16n2+64+36

=n4+20n2+100−36n2

=(n2+10)2−(6n)2

=(n2+10+6n)(n2+10−6n)

Mà để (n2+10+6n)(n2+10−6n) là số nguyên tố thì n2+10+6n=1 hoặc n2+10−6n=1

Mặt khác ta có n2+10−6n<n2+10+6n  n2+10−6n=1 (n thuộc N) 

 n2+9−6n=0 hay (n−3)2=0  n=3

Vậy với n=3 thì (n2−8)2+36 là số nguyên tố
_________________

Ta có

(n^2-8)^2

=n^4-16n^2+100

=n^4+100+20n^2-36n^2

=(n^2+10)^2-(6n)^2

=(n^2+10-6n)*(n^2+10+6n)

thử 2 trường hợp ta được n=3 thì t/m

Áp dụng BĐT cho 2 số dương:

\(\frac{1}{\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Xét: c + 1 = c + a + b + c

\(\frac{ab}{\left(c+1\right)}\le\frac{ab}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(b+c\right)}\right]\)

Tương tự:

\(\frac{bc}{\left(a+1\right)}\le\frac{bc}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(b+a\right)}\right]\)

\(\frac{ca}{\left(b+1\right)}\le\frac{ac}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+b\right)}+\frac{1}{\left(c+b\right)}\right]\)

Cộng lại: 
\(\frac{ac}{\left(c+1\right)}+\frac{bc}{\left(a+1\right)}+\frac{ca}{\left(b+1\right)}\le\frac{1}{4}\left\{\frac{ab}{\left(a+c\right)}+\frac{ab}{\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+c\right)}+\frac{ac}{\left(a+b\right)}\right\}\)

Cộng lại + rút gọn mẫu số

\(\frac{ab}{\left(c+1\right)}+\frac{bc}{\left(a+1\right)}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu '=' xảy ra khi a = b = c

P/s: Sai đâu bạn sửa nhé!

Gọi x (phút ) là thời gian người khách đó đi từ A đến B

=> Trong x phút, người đó gặp \(\frac{x}{15}\) chuyến xe buýt đi từ A tới B đồng thời gặp \(\frac{x}{10}\) chuyến xe buýt đi từ B tới A

Nếu khi đến B, người đó quay về A ngay thì trong x phút: người đó gặp \(\frac{x}{15}\) chuyến đi từ B về A đồng thời \(\frac{x}{10}\) phút đi từ A về B

=> Trong vòng 2x  (phút) người đó gặp : \(\frac{x}{15}\) + \(\frac{x}{10}\) = \(\frac{x}{6}\) (chuyến ) xe buýt đi từ A về B

=> Thời gian các xe lần lượt rời bến là sau: 2x : \(\frac{x}{6}\) = 12 phút

Gọi quãng đường nằm ngang là x 

=> Thời gian đi trên đoạn nằm ngang đi về là 2x/15 

=> Thời gian xuống dốc là 2(30 -x)/20 (xuống dốc lúc đi DB, xuống dốc lúc về AC, công lại chính là tổng đoạn đường trừ đi đường ngang) 

=> Thời gian lên dốc là 2(30 -x)/10 

*̀ 4h25 =4 + 5/12 = 53/12 

Ta có phương trình 

2[x/15 + (30 -x)/20 + (30-x)/10] = 53/12 

Giải ra x

dat \(x^2-2x+2=y\)

ta co pt

\(y^4+20x^2y^2+64x^4\)

\(=\left(8x^2\right)^2+2.8x^2.\frac{10}{8}y^2+\left(\frac{10^{ }}{8^{ }}y^2\right)^2-\frac{36}{64}y^4\)

\(=\left(8x^2+\frac{10}{8}y^2\right)^2-\left(\frac{6}{8}y^2\right)^2\)

\(=\left(8x^2+\frac{y^2}{2}\right)\left(8x^2+2y^2\right)\)

bạn thay y  nữa là xong

\(\left(x^2-2x+2\right)^4+20x^2\left(x^2-2x+2\right)^2+64x^4\)

\(=\left(x^2-2x+2\right)^4+20x^2\left(x^2-2x+2\right)^2+100x^4-36x^4\)

\(=\left[\left(x^2-2x+2\right)^2+10x^2\right]^2-36x^4\)

\(=\left(x^4-4x^3+18x^2-8x+4\right)^2-\left(6x^2\right)^2\)

\(=\left(x^4-4x^3+24x^2-8x+4\right)\left(x^4-4x^3+12x^2-8x+4\right)\)

Cho M là điểm tùy ý nằm trong tam giác ABC; gọi D, E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, MCA, MAB

CM: ΔDEF đồng dạng ΔABC

ai giúp Tony đi ! Chúc Tony học giỏi!!!!

\(|x^2-2xy+y^2+3x-2y-1|+4=2x-|x^2-3x+2|\)

\(\Leftrightarrow2x-4=|x^2-2xy+y^2+3x-2y-1|+|x^2-3x+2|\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\ge2\)

Với \(x\ge2\)thì ta suy ra được

\(\hept{\begin{cases}x^2-2xy+y^2+3x-2y-1=\left(x-y+1\right)^2+x-2\ge0\\x^2-3x+2=\left(x-2\right)^2+x-2\ge0\end{cases}}\)

Từ đây ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì ta có:

\(x^2-2xy+y^2+3x-2y-1+4=2x-\left(x^2-3x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+y^2-2xy-2x-2y+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2+\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

x 2 − 2xy + y 2 + 3x − 2y − 1| + 4 = 2x − |x 2 − 3x + 2| ⇔2x − 4 = |x 2 − 2xy + y 2 + 3x − 2y − 1| + |x 2 − 3x + 2| ≥ 0 ⇔x ≥ 2 Với x ≥ 2thì ta suy ra được x 2 − 2xy + y 2 + 3x − 2y − 1 = x − y + 1 2 + x − 2 ≥ 0 x 2 − 3x + 2 = x − 2 2 + x − 2 ≥ 0 Từ đây ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì ta có: x 2 − 2xy + y 2 + 3x − 2y − 1 + 4 = 2x − x 2 − 3x + 2 ⇔2x 2 + y 2 − 2xy − 2x − 2y + 5 = 0 ⇔ x − y + 1 2 + x − 2 2 = 0 ⇔ x = 2 y = 3 

Ta có: \(3m^2+6n-61\)chia cho 3 dư 2 nên ta đặt

\(3m^2+6n-61=3k+2\)

\(\Rightarrow A=3^{3m^2+6n-61}+4=3^{3k+2}+4=9.27^k+4\)

Ta có 27 chia 13 dư 1 nên \(27^k\)chia 13 dư 1

\(\Rightarrow9.27^k\)chia 13 dư 9

\(\Rightarrow9.27^k+4\)chia hết cho 13 hay A chia hết cho 13

Mà A là số nguyên tố nên A = 13

\(\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow3m^2+6n-61=2\)

\(\Leftrightarrow m^2+2n=21\left(1\right)\)

Từ (2) ta có được m² phải là số lẻ và nhỏ hơn 21

\(\Rightarrow m^2=\orbr{\begin{cases}1\\9\end{cases}\Rightarrow m=\orbr{\begin{cases}1\\3\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow n=\orbr{\begin{cases}10\\6\end{cases}}\)

Vậy giá trị \(\left(m,n\right)=\left(1,10;3,6\right)\)

la toi