\(A=\left(b+c\right)^2+b^2+c^2=2b^2+2c^2+2bc=2\left(b^2+bc+c^2\right)\) (tự hiểu nhé)

Mà \(a^2=2\left(a+c+1\right)\left(a+b-1\right)=2a^2+2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(b-c\right)-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(b+c\right)+2bc-2=0\) (*)

\(\Leftrightarrow2bc=2-a^2-2a\left(b+c\right)=2-\left(b+c\right)^2+2\left(b+c\right)^2\) (mấy cái này là từ a + b + c =0 suy ra a = -(b+c) suy ra a² = [-(b+c)]² = (b+c)² thôi!)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-2bc=-2\)

hay c² + b² = -2?? hay là mình làm sai nhì?

\(a^2=2\left(a+c+1\right)\left(a+b-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2=\left(b-1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2+\left(c+1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=0,b=1,c=-1\)

\(\Rightarrow A=2\)

Ta có \(xy+yz+xz=\frac{2^2-18}{2}=-7\)

 \(x+y+z=2\)=> \(z-1=-x-y+1\)

=> \(\frac{1}{xy+z-1}=\frac{1}{xy-x-y+1}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

Tương tự \(\frac{1}{yz+x-1}=\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)};\frac{1}{xz+y-1}=\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)

=> \(S=\frac{x+y+z-3}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=-\frac{1}{xyz-\left(yz+xy+xz\right)+\left(x+y+z\right)-1}\)

                                                                 \(=\frac{-1}{-1+7+2-1}=-\frac{1}{7}\)

Vậy \(S=-\frac{1}{7}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\left(1\right)\)

Lại có:\(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=-a\\b^2-c^2=-b\\c^2-a^2=-c\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right).\left(a+b\right)=-a\\\left(b-c\right).\left(b+c\right)=-b\\\left(c-a\right).\left(c+a\right)=-c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)=-\frac{a}{a+b}\\\left(b-c\right)=-\frac{b}{b+c}\\\left(c-a\right)=-\frac{c}{a+c}\end{cases}}\)

Từ (1) \(\Rightarrow\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(c-a\right)=-\left(\frac{a}{a+b}\cdot\frac{b}{b+c}\cdot\frac{c}{a+c}\right)=\frac{-abc}{-c.\left(-a\right).\left(-b\right)}=1\)

Nhân 2 vế của 2 ĐT đề bài ta có

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)=\frac{47}{10}\)

<=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\left(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{47}{10}\)

=>\(P=\frac{17}{10}\)

Vậy \(P=\frac{17}{10}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{ax},\sqrt{by},\sqrt{cz}\right)\) và \(\left(\sqrt{\frac{a}{x}};\sqrt{\frac{b}{y}};\sqrt{\frac{c}{z}}\right)\)có:

\(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(\sqrt{ax}.\sqrt{\frac{a}{x}}+\sqrt{by}.\sqrt{\frac{b}{y}}+\sqrt{cz}.\sqrt{\frac{c}{z}}\right)^2\)

Suy ra \(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)(1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\), tức là M cách đều BC,CA,AB hay M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC

Ta có \(2S_{ABC}=2S_{BMC}+2S_{CMA}+2S_{AMB}=ax+by+cz\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}=const\)

Vậy Min \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}\). Đạt được khi M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC.

Có:

\(2x^2+1=y^2-yx^2\)

<=> \(x^2\left(y+2\right)=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)

=> \(x^2\left(y+2\right)⋮\left(y+1\right)\)mà y+1 và y+2 là hai số nguyên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau

=> \(x^2⋮\left(y+1\right)\)

Đặt: \(x^2=\left(y+1\right)t\)( t thuộc Z)

Ta có phương trình : \(t\left(y+2\right)=y-1\)

,+) Với y=-2 => y+2 =0 => y-1 =0 => y=1 vô lí

+) Với y khác -2

Chia ca hai vế cho y+2 ta có:

\(t=\frac{y-1}{y+2}=1-\frac{3}{y+2}\)

Tìm y để t thuộc Z

Ta có: y+2 thuộc U(3)={-3; -1; 1; 3}

+) y+2 =-3 => y=-5 => t=2 => x^2 =(y+1)t= -8 ( loại)

+) y+2 =-1 => y=-3 => t=2 => x^2 =(y+1)t= -4 ( loại)

+) y+2=1  => y=-1 => t=-2 => x^2= 0  => x=0 

+) y+2 =3 => y=1 => t=0 => x^2 =0  => x=0

THử lại thấy x=0; y=1 và x=0 ;y=-1 thỏa mãn

Vậy ...

A B C D O H K I O' d

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành. Từ O hạ đường cao OO' vuông góc với d tại O'.

Ta có \(\hept{\begin{cases}OA=OC\\OO'\text{//}AH\end{cases}\Rightarrow}\) OO' là đường trung bình của tam giác AHC => AH = 2OO'                        (1)

Xét tứ giác BDKI có : \(\hept{\begin{cases}DK\text{//}OO'\text{//}BI\\OB=OD\end{cases}\Rightarrow}\) OO' là đường trung bình của hình thang BDKI

=> DK + BI = 2OO'                                                                                                                                (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH = BI + DK.

Bạn sửa lại đề bài cho đúng nhé!

A B C D (d) H I K E F

Gọi F là giao điểm của AH và BC. Kẽ DF vuông góc với AH

Ta có \(\widehat{AEH}=\widehat{AHC}=\widehat{DKC}=90\)

\(\Rightarrow DEHK\)là hình chữ nhật

\(\Rightarrow HE=DK\left(1\right)\)

Ta có \(\widehat{DAF}=\widehat{AFB\:}\)(AD // BC)

\(\widehat{IBF}=\widehat{AFB\:}\)(BI // AH)

\(\Rightarrow\widehat{DAF}=\widehat{IBF}\)

\(\widehat{AFD}=\widehat{BIC}=90\)

AD = BC

\(\Rightarrow\Delta BIC=\Delta AED\)

\(\Rightarrow BI=AE\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => AE + HE = AH = BI + DK

PS: Phải là chứng minh AH = BI + DK mới đúng nha

Ngoài http://olm.vn/hoi-dap/question/779981.html còn cách khác

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(9a^3+3a^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow A\le\text{∑}\frac{a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\text{∑}\left(\frac{1}{9}+\frac{a}{3}+ac\right)\)

\(=\frac{1}{3}+\frac{a+b+c}{3}+\text{∑}ab\le\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

a.b.c=1 thật hả. Rắc rối thế. Để nghĩ tiếp

A B C D M N L H

Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên MN // BD. Vậy thì \(LH\perp MN.\)

Lại có LN là đường trung bình của tam gaisc ACD nên LN // CD. Do \(MH\perp CD\Rightarrow MH\perp LN.\)

Xét tam giác LNM có LH và MH là các đường cao nên H là trực tâm tam giác LMN.

khó waaaaaaaaaaaaaaaaa

bài zì mà khó quá đi àaaaaaaaaaaaaaaaa