Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}}\)

hay \(\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}\)(1)

Ta có: \(A=4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)

\(=\left(2ab\right)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)

\(=\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\)

\(=\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)\)

Vì a + b + c > 0 ( Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác kết hợp với (1) thì:

\(\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)>0\)

hay A > 0 (đpcm)

Ta có

a + b + c = abc

\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Ta lại có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)

Ta có:a+b+c=abc

\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Ta lại có :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)

3/ Ta có:

\(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow x^2=\left(y+z\right)^2;y^2=\left(z+x\right)^2;z^2=\left(x+y\right)^2\)

\(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b\)

\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\)

Ta có:

\(ax^2+by^2+cz^2=a\left(y+z\right)^2+b\left(z+x\right)^2+c\left(x+y\right)^2\)

\(=x^2\left(b+c\right)+y^2\left(c+a\right)+z^2\left(a+b\right)+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\)

\(=-ax^2-by^2-cz^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ax^2+by^2+cz^2=0\)

1/ Đặt \(a-b=x,b-c=y,c-z=z\)

\(\Rightarrow x+y+z=0\)

Ta có:

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)

\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)

A B C D M E F I K

Gọi giao điểm của MB và EF là I; giao điểm của MF và AB là K.

Do ABCD là hình vuông nên AC là phân giác góc BAD. Vì thế hình chữ nhật AKME cũng là hình vuông. Từ đó suy ra MK = ME và KB = MF.

Vậy thì \(\Delta KMB=\Delta MEF\) (hai cạnh góc vuông)

Từ đó \(\widehat{MFE}=\widehat{KBM}.\)

Lại có \(\widehat{KMB}=\widehat{IMF}\) (đối đỉnh)

Vậy nên \(\widehat{IMF}+\widehat{MFI}=\widehat{KMB}+\widehat{KBM}=90^0\). hay \(\widehat{MIF}=90^0\Rightarrow MB\perp EF.\)

b. Ta chứng minh \(AF\perp EB.\) Thật vậy \(\Delta ADF=\Delta BAE\) (Hai cạnh góc vuông)

nên \(\widehat{DAF}=\widehat{ABE}\Rightarrow\widehat{ABE}+\widehat{BAF}=\widehat{DAF}+\widehat{BAF}=90^0\)

Vậy \(AF\perp EB.\). Tương tự \(EC\perp BF.\)

Xét tam giác EBF có BM; AF; CE trùng các đường cao nên chúng đồng quy.

H�nh ?a gi�c TenDaGiac1: DaGiac[A, M, 4] H�nh ?a gi�c TenDaGiac2: DaGiac[M, B, 4] ?o?n th?ng f: ?o?n th?ng [A, B] ?o?n th?ng g: ?o?n th?ng [A, M] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng h: ?o?n th?ng [M, N] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng i: ?o?n th?ng [N, P] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng j: ?o?n th?ng [P, A] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng k: ?o?n th?ng [M, B] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac2 ?o?n th?ng l: ?o?n th?ng [B, K] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac2 ?o?n th?ng m: ?o?n th?ng [K, L] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac2 ?o?n th?ng L_1: ?o?n th?ng [L, M] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac2 ?o?n th?ng s: ?o?n th?ng [C, D] ?o?n th?ng d: ?o?n th?ng [I, J] ?o?n th?ng e: ?o?n th?ng [C, E] ?o?n th?ng f_1: ?o?n th?ng [D, G] A = (-1.16, 1) A = (-1.16, 1) A = (-1.16, 1) B = (6.34, 1.14) B = (6.34, 1.14) B = (6.34, 1.14) ?i?m M: ?i?m tr�n f ?i?m M: ?i?m tr�n f ?i?m M: ?i?m tr�n f ?i?m N: DaGiac[A, M, 4] ?i?m N: DaGiac[A, M, 4] ?i?m N: DaGiac[A, M, 4] ?i?m P: DaGiac[A, M, 4] ?i?m P: DaGiac[A, M, 4] ?i?m P: DaGiac[A, M, 4] ?i?m K: DaGiac[M, B, 4] ?i?m K: DaGiac[M, B, 4] ?i?m K: DaGiac[M, B, 4] ?i?m L: DaGiac[M, B, 4] ?i?m L: DaGiac[M, B, 4] ?i?m L: DaGiac[M, B, 4] ?i?m C: Giao ?i?m c?a n, p ?i?m C: Giao ?i?m c?a n, p ?i?m C: Giao ?i?m c?a n, p ?i?m D: Giao ?i?m c?a q, r ?i?m D: Giao ?i?m c?a q, r ?i?m D: Giao ?i?m c?a q, r ?i?m I: Trung ?i?m c?a C, D ?i?m I: Trung ?i?m c?a C, D ?i?m I: Trung ?i?m c?a C, D ?i?m E: Giao ?i?m c?a t, f ?i?m E: Giao ?i?m c?a t, f ?i?m E: Giao ?i?m c?a t, f ?i?m G: Giao ?i?m c?a a, f ?i?m G: Giao ?i?m c?a a, f ?i?m G: Giao ?i?m c?a a, f ?i?m J: ?i?m tr�n f ?i?m J: ?i?m tr�n f ?i?m J: ?i?m tr�n f

a. Kẻ \(CE\perp AM;DG\perp MB\) , ta thấy ngay CE = EM; DG = GM (Do AMNP, BMLKA là hình vuông)

Từ I kẻ IJ // CE // DG : IJ là đường trung bình hình thang CEGD. Vậy thì

 \(IJ=\frac{EC+DG}{2}=\frac{EM+MG}{2}=\frac{AB}{4}=\frac{a}{4}.\)

Do \(IJ\perp AB\) nên khoảng cách từ I tới AB là IJ = \(\frac{a}{4}.\)

b. Do khoảng cách từ I tới AB không thay đổi nên khi M di chuyển trên AB thì I di chuyển trên đường thẳng song song AB, cách AB một khoảng bằng \(\frac{a}{4}.\)

Bài của mình giống cô giáo :

Câu hỏi của Nguyễn Minh Phương - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Cậu tahm khảo bài của cô nha

P/s : bài này khá khó nên mình thử thôi ! 

Không mất tính tổng quát , ta giả sử : \(a\ge b\ge c\)

Đặt \(M=ab+bc+ca-12\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

      \(N=a\left(b+c\right)-12\left[a^3+\left(b+c\right)^3\right]\left[a^2\left(b+c\right)^2\right]\)

Ta có : \(ab+ac+bc\ge a\left(b+c\right)\)hay \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le a^2\left(b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow M\ge N\)

Tiếp , ta sẽ chứng minh \(N\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)-12\left[a^3+\left(b+c\right)^3\right]\left[a^2\left(b+c\right)^2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)\left\{1-12a\left(b+c\right)\left[a^3+\left(b+c\right)^3\right]\right\}\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-12a\left(b+c\right)\left[a^3\left(b+c\right)^3\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-12a\left(b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^3-3a\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-12a\left(b+c\right)\left[1-3a\left(b+c\right)\right]\ge0\left(1\right)\)

Đặt x = a ; y = b + c ta có : \(x+y=1\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

Theo bất đẳng thức AM - GM , ta có :

\(12xy\left(1-3xy\right)\le\frac{1}{4}.12xy\left(4-12xy\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{12xy+4-12xy}{2}\right)^2=1\)

=> Bất đẳng thức ( 1 ) luôn đúng 

\(\Rightarrow N\ge0\)

Vậy \(M\ge0\)\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge12\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Đẳng thức xảy ra với bộ \(\left(\frac{3+\sqrt{3}}{6};\frac{3-\sqrt{3}}{6};0\right)\)và các hoán vị của chúng .

WLOG: \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

Let \(p=a+b+c;ab+bc+ca=q;abc=r\) so p = 1; \(r\ge0\)and \(3\ge q\ge ab\left(\text{vì }c\ge0\right)\)

Need: \(q\ge12\left(p^3-3pq+3r\right)\left(q^2-2pr\right)\)

Have: \(VP=12\left(1-3q+3r\right)\left(q^2-2r\right)=\frac{2}{3}.\left(1-3q+3r\right).18\left(q^2-2r\right)\)

\(\le\frac{1}{6}\left[1-3q+3r+18\left(q^2-2r\right)\right]=\frac{1}{6}\left[18q^2-3q+1-33r\right]\)

\(\le\frac{1}{6}\left(18q^2-3q+1\right)=3q^2-\frac{1}{2}q+\frac{1}{6}\)

Hence, we need to prove: \(q\ge3q^2-\frac{1}{2}q+\frac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow3q^2-\frac{3}{2}q+\frac{1}{6}\le0\Leftrightarrow\frac{1}{6}\le q\le\frac{1}{3}\)

Which it is obvious because:

\(q=ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(q-\frac{1}{6}=ab+bc+ca-\frac{1}{6}=ab+c-\frac{1}{6}+c\left(a+b-1\right)\)\(=ab-\frac{1}{6}+1-\left(a+b\right)-c\left[1-\left(a+b\right)\right]\)

\(=ab-\frac{1}{6}+\left[1-\left(a+b\right)\right]\left(1-c\right)\ge0\)

A B C D E F M P Q I K

a/ 

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD => ABCD cũng là hình thang.

Ta có E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC nên EF là đường trung bình 

của hình thang ABCD => EF // AB (1)

Lại có AE // BF (2) . Từ (1) và (2) suy ra ABFE là hình bình hành (dhnb)

b/ Xét tứ giác DEBC có \(\hept{\begin{cases}DE=BF\\DE\text{//}BF\end{cases}}\) => DEBF là hình bình hành => BE // DF

Xét tam giác BCP : \(\hept{\begin{cases}BF=FC\\FQ\text{//}BP\end{cases}}\) => QF là đường trung bình => CQ = QP (3)

Tương tự với tam giác ADQ : PE là đường trung bình => AP = PQ (4)

Từ (3) và (4) => AP = PQ = QC

c/ 

Ta có : \(\hept{\begin{cases}IE=EM\\AE=ED\end{cases}}\) => IAMD là hình bình hành => IA // DM hay IA // CD (5)

Tương tự : \(\hept{\begin{cases}BF=FC\\MF=FK\end{cases}}\) => BKCM là hình bình hành => BK // CD (6)

Lại có AB // CD (7)

Từ (5) , (6) , (7) kết hợp cùng với tiên đề Ơ-clit ta được đpcm.

d/  Vì IAMD và BKCM là các hình bình hành (chứng minh ở câu c) 

nên ta có AI = DM , BK = CM

=> AI + BK = DM + CM = CD (không đổi)

Vậy khi M di chuyển trên cạnh CD thì AI + BK không đổi.

khó đấy bạn !

Từ giả thiết , ta có :

\(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\left(1\right)\)

\(\Rightarrow1=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức sau : \(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\) ta có :

\(1=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\le\left(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3}{3}\right)^3\)

\(\Rightarrow3\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3\)

\(\Rightarrow6\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow6xyz\le xy+yz+zx\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra:

\(3-3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+zx\right)=6xyz\le xy+yz+zx\)

\(\Rightarrow0\ge3-3\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\)

Cộng 2 vế của bất đẳng thức trên cho \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\)ta được:

\(x^2+y^2+z^2\ge\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z+3\right)=\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\) 

ta có:

xyz=(1-x).(1-y).(1-z)                                 (1)

=>1=(1:x-1).(1:y-1).(1:z-1)

ko chứng minh đc bạn ak hình như đề sai thì phải

bạn tìm ở sách toán bồi dưỡng có thể có đấy

tôi ko biết

phân tích đa thức thành nhân tử