Bạn thêm điều kiện m,n là số tự nhiên nhé!

Giải như sau : 

Với n là số tự nhiên thì ta luôn có 2n là số chẵn.

Xét trong giả thiết thì các hạng tử có số mũ chẵn.

Vậy thì ta có : \(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+...+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\ge0\)

Kết hợp với giả thiết bài toán ta được \(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+...+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}=0\)

\(\Leftrightarrow x_ip-y_iq=0\) (i = 1,2,...,m)

\(\Leftrightarrow x_ip=y_iq\Leftrightarrow\frac{x_i}{y_i}=\frac{q}{p}\)

Ta thay i = 1,2,...,m thì được : \(\frac{q}{p}=\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=...=\frac{x_m}{y_m}=\frac{x_1+x_2+...+x_m}{y_1+y_2+...+y_m}\) (áp dụng tính chất dãy tỉ sô bằng nhau)

hay : \(\frac{x_1+x_2+...+x_m}{y_1+y_2+...+y_m}=\frac{q}{p}\) (đpcm)

đùa à ko biết 

Ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\Rightarrow\frac{a^4}{b^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{2a^4}{2b^4}=\frac{2b^4}{2c^4}=\frac{2c^4}{2d^4}=\frac{2d^4}{2e^4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỹ số bằng nhau ta có:

\(\frac{2a^4}{2b^4}=\frac{2b^4}{2c^4}=\frac{2c^4}{2d^4}=\frac{2d^4}{2e^4}=\frac{2a^4+2b^4+2c^4+2d^4}{2b^4+2c^4+2d^4+2e^4}\)

em nghĩ là c ghi sai đề :)

Sửa lai đề : Cho a;b;c;d;e khác 0

CM :  \(\frac{2a^4+3b^4+4c^4+5d^4}{2b^4+3c^4+4d^4+5c^4}=\frac{a}{e}\)

Giải : 

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}=k\)

\(\Rightarrow k^4=\frac{a^4}{b^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{2a^4}{2b^4}=\frac{3b^4}{3c^4}=\frac{4c^4}{4d^4}=\frac{5d^4}{5e^4}\)

Áp dụng TC DTSBN ta được : \(k^4=\frac{2a^4+3b^4+4c^4+5d^4}{2b^4+3c^4+4d^4+5e^4}\)(1)

Ta lại có : \(k^4=k.k.k.k=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}.\frac{d}{e}=\frac{a}{e}\) (2)

Từ (1) ; (2) => \(\frac{2a^4+3b^4+4c^4+5d^4}{2b^4+3c^4+4d^4+5c^4}=\frac{a}{e}\) (đpcm)

😅

Em xem lại đề, nó bị sai rồi :)

Ta có hình vẽ :

  B A C N I K M

Trên BC lấy \(I\) và \(K\) sao cho \(\widehat{BOI}=\widehat{COK}=30^o\)

 Xét \(\Delta OMB\) Và \(\Delta OIB\) ta có :

   \(\widehat{MOB}=\widehat{IOB}=30^o\)

BO là cạnh chung.

 \(\widehat{MBO}=\widehat{IBO}\) ( trước tia phân giác )

\(\Leftrightarrow\Delta OMB=\Delta OIB\)

\(\Leftrightarrow MB=IB\) ( HAI CẠNH TƯƠNG TỰ)

Xét \(\Delta NOC\) Và \(\Delta KOC\) có :

 Góc \(NOC=\) Góc \(KOC=30^o\)

  OC là chung.

Góc \(DCO=KOC\) ( TRƯỚC TIA PHÂN GIÁC )

\(\Leftrightarrow\Delta NCO=\Delta KOC\)

\(\Leftrightarrow CN=CK\) ( 2 CẠNH TƯƠNG ỨNG )

Mà \(BC=BI+IK+KC=BM+IK+NC\)

   \(\Leftrightarrow BE+CD< BC\)

    \(\LeftrightarrowĐPCM\)

tai sao goc MOB = NOC = 30 do LE QUNG DUNG

Ta thấy 17 là số nguyên tố, vậy để một số tự nhiên x có 17 ước số thì x có dạng \(x=t^{16}=\left(t^8\right)^2\), với t là số nguyên tố. Vậy x phải là số chính phương.

Đặt \(n=\left(x-1\right)^2+x+\left(x+1\right)^2=3x^2+2\). n có dạng 3k + 2.

Vậy n không thể là số chính phương.

Từ đó suy ra n không thể có 17 ước số.

Ta thấy 17 là số nguyên tố, vậy để một số tự nhiên x có 17 ước số thì x có dạng \(x=t^{16}=\left(t^8\right)^2\), với t là số nguyên tố. Vậy x phải là số chính phương.

Đặt\( n=\left(x-1\right)^2+x+\left(x+1\right)^2=3x^2+2\). n có dạng 3k + 2.

Vậy n không thể là số chính phương.

Từ đó suy ra n không thể có 17 ước số.

Gọi chữ số nhỏ nhất là a => số có 3 chữ số là a, 2a, 3a với 3a ≤ 9 => a ≤ 3. Do số cần tìm chia hết cho 18, tức chia hết cho 9 nên (a + 2a + 3a) = 6a chia hết cho 9 => a chia hết cho 3, vậy a = 3 => 3 chữ số là 3, 6, 9 
Số cần tìm là số chẵn do chia hết cho 2 vậy chữ số cuối là 6 
=> số cần tìm là 396 hoặc 936

tỉ lệ tổng là 9

số đó là 180

gọi chung các số nguyên tố lớn hơn 2 hoặc 3 là p

p là số nguyên tố lớn hơn 2 và 3 nên khi chia p cho 6 sẽ xảy ra các trường hợp sau: p chia hết cho 6, p : 6 dư 1, p : 6 dư 2, p : 6 dư 3, p : 6 dư 4, p : 6 dư 5

=> p sẽ có các dạng sau: 6m; 6m + 1; 6m + 2; 6m + 3; 6m + 4; 6m +5 hay 6m - 1

Ta thấy: 6m chia hết cho 6; 6m + 2 và 6m + 4 chia hết cho 2; 6m + 3 chia hết cho 3; các dạng trên là hợp số

Mà p là số nguyên tố lơn hơn 2 và 3 => p chỉ có 1 trong 2 dạng : 6m + 1 và 6m - 1

Vậy các số nguyên tố lớn hơn 2 hoặc 3 đều có thể viết được dưới dạng 6m+1 hoặc 6m-1

Các số nguyên tố khác 2 và 3 có thể dạng:

6m+1

6m+2

6m+3

6m+4

6m+5

Thấy: 6m-1 cũng có dạng 6m+5

Vì 6m+2,6m+4 chia hết cho 2 nên bỏ

Vì 6m+3 chia hết cho 3 nên bỏ nốt

Còn 6m+1 và 6m +5 hay còn là 6m+1 và 6m-1

Từ đó ta có thể khẳng định: mọi số nguyên tố khác 2 và 3 đều  có dạng 6m+1 hoặc 6m-1

Ta tính diện tích tam giác ABC đều, cạnh bằng 3cm.

Kẻ AH vuông góc BC tại H. 

A B C H

Theo đó ta có tam giác ABC đều, AH là đường cao nên đồng thời là trung tuyến.

Vậy thì \(BH=HC=1,5cm\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông AHC, ta có \(AH^2+HC^2=AC^2\Rightarrow AH^2=3^2-1,5^2=6,75\): 

\(\Rightarrow AH=\sqrt{6,75}\left(cm\right)\)

Vậy thì \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.BC.AH=\frac{1}{2}.3.\sqrt{6,75}=\frac{3}{2}\sqrt{6,75}\left(cm^2\right)\)   (1)

A B C M I J K

Lại có \(S_{ABC}=S_{MAB}+S_{MBC}+S_{MCA}=\frac{1}{2}AB.MI+\frac{1}{2}BC.MK+\frac{1}{2}AC.MJ\)

\(=\frac{1}{2}.3.\left(MI+MJ+MK\right)=\frac{3}{2}\left(MI+MJ+MK\right)\)   (cm²)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MI+MJ+MK=\sqrt{6,75}\left(cm\right)\) 

\(\hept{\begin{cases}a\left(a+b+c\right)=-12\\b\left(a+b+c\right)=18\\c\left(a+b+c\right)=30\end{cases}}\)

Cộng cả 3 phương trình với nhau vế theo vế được

\(a\left(a+b+c\right)+b\left(a+b+c\right)+c\left(a+b+c\right)=36\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=36\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(a+b+c\right)=6\\\left(a+b+c\right)=-6\end{cases}}\)

Với \(\left(a+b+c\right)=6\)thì

\(\hept{\begin{cases}a=-2\\b=3\\c=5\end{cases}}\)

Với \(\left(a+b+c\right)=-6\)thì

\(\hept{\begin{cases}a=2\\b=-3\\c=-5\end{cases}}\)

Bài này cho vào Câu Hỏi Hay có quá ko :v

Giả sử rằng trong 44 số đã cho, không có hai số nào bằng nhau . Vai trò các số này bình đẳng nên ta giả sử \(a_1< a_2< ...< a_{44}\). Vì a₁ , a₂ ,..., a₄₄ là các số nguyên dương nên ta có thể gọi \(a_1\ge2\), \(a_2\ge3\).... , \(a_{44}\ge45\)(Dễ thấy \(a_1=1\)thì không tồn tại các giá trị \(a_j\) \(\left(j=2,3,...,44\right)\)thỏa mãn đề bài)

Khi đó : \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{45^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{44.45}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{45}=1-\frac{1}{45}< 1\)

Như vậy đẳng thức không xảy ra (vô lí) => điều giả sử sai. 

Vậy trong 44 số đã cho tồn tại 2 số bằng nhau. (đpcm)

Tham khảo cách làm và đề sau:

Cho 2015 số nguyên dương a1;a2;...;a2016 thỏa mãn 

\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+....+\frac{1}{a_{2016}}=300\)

CMR:tồn tại ít nhất 2 số đã cho bằng nhau.

Giải 

Giả sử trong 2016 sô đã cho ko có 2 số nào bằng nhau,ko mất tính tổng quát giả sử a1<a2<....<a2016 

Vì a1,a2,....,a2016 đều là số nguyên dương nên ta suy ra \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{2016}\ge2016\)

Suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2016}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}\)

\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+....+\frac{1}{2016}\right)\)

\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2^2}\cdot2^2+...+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 30\)

Mâu thuẫn vs gt ->Giả sử sai

=>Trong 2016 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau