\(C=\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{7+4\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow C=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{4+4\sqrt{3}+3}\)

\(\Leftrightarrow C=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow C=\left|\sqrt{3}-1\right|-\left|2+\sqrt{3}\right|\)

\(\Leftrightarrow C=\sqrt{3}-1-2-\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow C=-3\)

áp dụng bđt Min-cốp-xki ta có \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}=\sqrt{\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}}+\sqrt{\left(x^2+xz+\frac{z^2}{4}\right)+\frac{3z^2}{4}}\)\(=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}y}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(-x-\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}z}{2}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}-x-\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}y}{2}+\frac{\sqrt{3}z}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{y^2}{4}-\frac{yz}{2}+\frac{z^2}{4}+\frac{3y^2}{4}+\frac{3yz}{2}+\frac{3z^2}{4}}\)

\(=\sqrt{y^2+yz+z^2}\)

Ta có: 

\(A=\sqrt{5+\sqrt{17}}-\sqrt{5-\sqrt{17}}\)

\(\Leftrightarrow A^2=10-2\sqrt{25-17}=10-4\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow A=\sqrt{10-4\sqrt{2}}\)

Ta lại có:

\(B=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow B^2=6-2\sqrt{9-5}=2\)

\(\Leftrightarrow B=\sqrt{2}\)

Thế vô biểu thức ban đầu ta được

\(\frac{\sqrt{5+\sqrt{17}}-\sqrt{5-\sqrt{17}}-\sqrt{10-4\sqrt{2}}+4}{\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}+2-\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{10-4\sqrt{2}}-\sqrt{10-4\sqrt{2}}+4}{\sqrt{2}+2-\sqrt{2}}=\frac{4}{2}=2\)

\(\sqrt{2}\)

Ta có : \(\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

hay \(\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}\le\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự : \(\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ac}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

\(\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được \(\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ac}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}\le1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\\a+b+c=2013\\a,b,c>0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=671\)

v

B xem lại đề bài thử nhé

bài này mình cũng dò lại đề rồi mình chép đúng đấy mà không làm được nên mới nhờ giải

vì \(x^2+y^2+z^2=1\)

\(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)

\(2P=2\left(xy+xz+yz\right)+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2-2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\)

\(2P-2=-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2-\left(y-z\right)^2+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)

\(2P-2=\left(x^2-1\right)\left(y-z\right)^2+\left(y^2-1\right)\left(x-z\right)^2+\left(z^2-1\right)\left(x-y\right)^2\le0\)

\(2P-2\le0\)

\(2P\le2\)

\(P\le1\)

GTLN P là 1 khi x=y=z=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

tth_new_dep_trai_lai_lang_solo_SOS_Ji_Chen_tuoi_tom nhờ mình đăng hộ nha!

\(Q=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)

\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)

\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)

\(\Rightarrow Q\ge1\).Vậy Min_Q=1

\(Q=\frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(x^4+8xy^3=x^4+8.xy.y^2\le x^4+4\left(x^2y^2+y^4\right)=\left(x^2+2y^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8xy^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}\)

\(\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}=\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+y^2+xy\right)}\le\frac{x^2+3y^2+2xy}{2}=\frac{2y^2+\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\le\frac{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}{2}=x^2+2y^2\)

\(\Rightarrow Q\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)

Vậy minQ= 1 tại \(x=y>0\)

A B C M I J H K P

Kẻ MP\(⊥\)AH

Ta có AKMJ, PMIH là hình chữ nhật

=> \(MI^2+MJ^2+MK^2=AM^2+PH^2\ge AP^2+PH^2\ge\frac{\left(AP+PH\right)^2}{2}=\frac{AH^2}{2}\)

Dấu = xảy ra khi M là trung điểm AH

ai mà biết