Đặt a/b=c/d (c/d là phân số tối giản ; c và d thuộc N*)

Ta có: BCNN(a;b)=300 =>a.d=300 (1)

          UCLN(a;b)=15=>b:d=15(2)

Thay b=a+15 vào (2) ta được:

(a+15):d=15 <=> a+15=15d <=>a=15d-15 

Thay a=15d-15 vào (1) ta được:

(15d-15)d=300 <=>15d²-15d-300=0<=>d²-d-20=0 <=> d=5(nhận) hoặc d=-4(loại)

=>a=15d-15=15.5-15=60

=>b=a+15=60+15=75

vậy,a=60 và b=75

Ta có:

\(ƯCLN\left(a,b\right)=\frac{a.b}{BCNN\left(a,b\right)}\) 

=> \(15=\frac{a.b}{300}\)

=> a.b= 15.300=4500

Thay b = 15+a. Ta được:

( 15 + a ) . a = 4500

Ta thấy : 75.60=4500

Vậy a = 75 và b = 60

a,b lẻ nên suy ra: (a-1)(b-1) chia hết cho 4.

Ta đặt: a=(2k-1)²;b=(2k+1)².

=>(m-1)=4k(k-1)     (k thuộc Z)

    (n-1)=4k(k+1).

=>(m-1)(n-1)=16k²(k-1)(k+1)

Mà k(k-1)(k+1) chia hết cho3 (3 số nguyên liên tiếp).

 Do k(k-1)và k(k+1) chia hết cho 2

nên suy ra: k²(k+1)(k-1) chia hết cho 12.

=>(a-1)(b-1)=16k²(k+1)(k-1) chia hết cho 192 khi m,n là SCP lẻ liên tiếp.

ta chứng minh bài toán phụ a chia 8 dư 1

đặt a =x^2(x thuộc N)

vì a là số chính phương lẻ nên x lẻ

đặt x=2k+1

ta có: x^2=(2k+1)^2=(2k)^2+2.2k+1=4k^2+4k+1=4(k+k^2)+1

vì k và k^2 là 2 số cùng tính chẵn lẻ suy ra  4(k+k^2) chia hết cho 8 suy ra  4(k+k^2)+1 chia hết cho 8 dư 1(đpcm)

Theo đề bài suy ra a chia 8 dư 1, b chia 8 dư 1 suy ra a-1 chia hết cho 8, b-1 chia hết cho 8

suy ra (a-1)(b-1) chia hết cho 64

vì 1 số chính phương chia 3 dư 1 suy ra a-1, b-1 chia hết cho 3

suy ra (a-1)(b-1) chia hết cho 3

vì (3,64)=1 suy ra (a-1)(b-1) chia hết cho 192(đpcm)

vậy (a-1)(b-1) chia hết cho 192

Gọi x là số năm tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi Hùng

Ta có: \(\frac{36-x}{12-x}=7\)

Từ đó tính ra x= 8 

Vậy trước đó 8 năm mẹ gấp 7 lần tuổi Hùng

vì tuổi mẹ năm nay 36 gấp 3 lần tuổi hùng nên suy ra tuổi hùng là 36/3=12

gọi X là tuổi của mẹ trước đây để gấp 7 lần tuổi hùng nên ta có

101

cậu ơi phân số tối giản mà

P = 2*[ 6/(1*4*7) + 6/(4*7*10) + ... + 6/(54*57*60) ]

   = 2*[ 1/(1*4) - 1/(4*7) + 1/(4*7) - 1/(7*10) + ... + 1/(54*57) -1/(57*60) ]

   = 2*[ 1/(1*4) - 1/(57*60) ]

   = 2* (427/1710)

   = 427/855 <1/2

S = 1+ 1/2^2 + 1/3^2 +... + 1/100^2

1/2^2 < 1/(1*2)

1/3^2 < 1/(2*3)

...

1/100^2 < 1/(99*100)

==> 1/2^2 +1/3^2 +.., +1/100^2 < 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(99*100) = 1 -1/2 +1/2 - 1/3 +1/3 -1/4 +... - 1/100

                                                                                                   =1 - 1/100 <1

==> 1/2^2 + 1/3^2 +... + 1/100^2  < 1

==> 1 + 1/2^2 + 1/3^2 +... +1/100^2 <2

gọi a là số tự nhiên

a : 3 dư 2

a : 4 dư 2

a : 5 dư 2

a : 6 dư 2

nên a - 2   \(⋮\)3 ; 4 ; 5 ; 6  ; a - 2 : 7 dư 1

a - 2   \(\in\)BC { 3 ; 4 ; 5 ; 6 }

BCNN { 3 ; 4 ; 5 ; 6 } = 3 . 2² . 5 = 60

BC { 3 ; 4 ; 5 ; 6 } = B { 60 } = { 0 ; 60 ; 120 ; 180 ; ... }

mà a nhỏ nhất nên a -2 = 120

vậy a = 122

Gọi số tự nhiên cần tìm là a . Ta có :

a chia 3 dư 2 ; a chia 4 dư 2 ; a chia 5 dư 2 ; a chia 6 dư 2 nên :

a - 2 \(⋮\) 3 , 4 , 5 , 6 ; a - 2 chia 7 dư 1 

a - 2 \(\in\) BC { 3 ; 4 ; 5 ; 6 }

BCNN { 3 ; 4 ; 5 ; 6 = 3 . 2² . 5 = 60

BC { 3 ; 4 ; 5 ; 6; } = B ( 60 ) = { 0 ; 60 ; 120 ; 180 ; ...... } . Mà a nhỏ nhất nên a - 2 = 120 

\(\Rightarrow\)a = 120

7                    ,                             5

tổng số phần bằng nhau là:

2 + 3 = 5 (phần)

tuổi của em là:

40 : 5 x 2 = 18 (tuổi)

tuổi của anh là:

40 - 18 = 22 (tuổi)

đáp số: TE: 18 tuổi.

               TA: 22 tuổi.

em:16     anh:24