phép đặt trên thực ra là chuẩn hóa bdt

:). Sử dụng Bất đẳng thức Schur.

Giải:

Đặt: \(a+b+c=p\)

       \(abc=r\)

       \(ab+bc+ac=q\)

Theo bất đẳng thức Schur:

=> \(p^2\ge3q\) , \(2p^3+9r\ge7pq\) => \(p^3-4pq+9r\ge0\)=> \(p^3-4pq+9\left(4-p\right)\ge0\Leftrightarrow p^3-4pq-9p+36\ge0\)(1)

và \(p^3\ge27r\)

Từ giả thiết ta có: \(p+r=4\)=> \(p^3+27\ge27r+27p=27\left(r+p\right)=27.4\)

=> \(p^3+27p-27.4\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(p^3-27\right)+\left(27p-27.3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p^2+3p+9+27\right)\ge0\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p^2+3p+36\right)\ge0\Leftrightarrow p-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow p\ge3\)

Vì a, b, c >0 => \(abc>0\)=> r>0

=> \(3\le p< 4\)

=> \(\left(p+3\right)\left(p-4\right)\left(p-3\right)\le0\Leftrightarrow p^3-4p^2-9p+36\le0\) (2)

Từ (1), (2) => \(-4pq\ge-4p^2\Leftrightarrow q\le p\) hay  ab+bc+ac\(\le\)a+b+c

"=" xảy ra : \(a=b=c\)

  và \(a+b+c+abc=4\)

<=> a=b=c=1

??????????

bằng 30

????????????????????????????????????????

?????

Ta có

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-2\left(x^4+y^4+z^4\right)\)

\(=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-x^4-y^4-z^4\)

\(=\left(z^2x^2+2z^2xy+z^2y^2\right)+\left(z^2x^2-2z^2xy+z^2y^2\right)+\left(-x^4+2x^2y^2-y^4\right)-z^4\)

\(=z^2\left(x+y\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2-\left(x^2-y^2\right)^2-z^4\)

\(=z^2\left(\left(x+y\right)^2-z^2\right)-\left(x-y\right)^2\left(\left(x+y\right)^2-z^2\right)\)

\(=\left(\left(x+y\right)^2-z^2\right)\left(z^2-\left(x-y\right)^2\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x+y-z\right)\left(z-x+y\right)\left(z+x-y\right)=0\)

Vậy \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=2\left(x^4+y^4+z^4\right)\)

khó vậy

gọi số cần tìm là ab (a khác 0; a; b là các chữ số)

tổng 2 chữ số của số đó nhỏ hơn số đó 6 lần => a + b < 6. ab => a+b < 6(10a+b) => 59a +5b > 0 (*)

thêm 25 vào tích của 2 chữ số sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho

=> a.b + 25 = ba

=> a.b + 25 = 10b + a

=> a.b - a + 25 -10b = 0

=> a.(b - 1) - 10(b -1) = -15

=> (a-10)(b-1) = -15 => a -10 ; b-1 thuộc Ư(15) = {15; 1; -15; -1; 5; 3;-5;-3; }

Do a là chữ số nên a- 10 < 0 => a- 10 chỉ có thể nhận các giá trị -15; -5;-1;-3

Nếu  a- 10 = -15 => a=-5 => b-1 = 1 => b= 2  đối chiếu với (*) => loại

a - 10 = -1 => a=9 => b-1 = 15 => b=16 loại

a-10 = -5 => a=5 => b-1= 3 => b = 4 thoả mãn (*) => số 54 thoả mãn

a-10 = -3 => a=7 => b-1= 5 => b = 6 thoả mãn (*) => số 76 thoả mãn 

Vậy có 2 số thoả mãn đề bài là 54; 76

Éucdhx

B C D A E F H M N

a) Xét tam giác AFB và tam giác DMA có:

\(\widehat{ABF}=\widehat{DAM}\)  (Cùng phụ với góc \(\widehat{BAM}\)  )

\(\widehat{FAB}=\widehat{MDA}=90^o\)

AB = AD

\(\Rightarrow\Delta AFB=\Delta DMA\)  ( Cạnh góc vuông, góc nhọn kề)

\(\Rightarrow AF=DM\)

\(\Rightarrow DM=AE\)

Xét tứ giác AEMD có AE song song và bằng DM nên nó là hình bình hành.

Lại có \(\widehat{EAD}=90^o\)  nên AEMD là hình chữ nhật.

b) Đặt \(\frac{AE}{EB}=k\); Ta có các tỉ số: \(\frac{AE}{EB}=\frac{MD}{MC}=\frac{AD}{CN}=k\)

Ta có:  \(\frac{S_{AEH}}{S_{ABH}}=\frac{k}{k+1}\)

Ta có \(\frac{AE}{EB}=\frac{MD}{MC}=\frac{AD}{CN}=\frac{BC}{CN}=\frac{S_{BCH}}{S_{BNH}}=\frac{k}{k+1}\)

Vậy thì \(\frac{S_{AEH}}{S_{ABH}}=\frac{S_{CBH}}{S_{BNH}}\Rightarrow\frac{S_{AEH}}{S_{ABH}}=\frac{4S_{AEH}}{S_{BNH}}\Rightarrow\frac{S_{BNH}}{S_{BAH}}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{HN}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{AF}{BN}=\frac{1}{4}\)

Ta có: \(\frac{AF}{BN}=\frac{AF}{BC+CN}=\frac{AF}{\left(k+1\right)AF+\left(\frac{k+1}{k}\right)AF}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow k=1\)

Vậy thì AE = EB hay E, F là trung điểm AB, AC.

Từ đó suy ra \(EF=\frac{BD}{2}=\frac{AC}{2}\)

Vậy AC = 2EF.

c) Ta thấy ngay \(\Delta ADM\sim\Delta NCM\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{MN}=\frac{AD}{CN}\Rightarrow AM.CN=MN.AD\)

\(\Rightarrow AM\left(AD+CN\right)=AN.AD\)

\(\Rightarrow AM.BN=AD.AD\)

\(\Rightarrow AM^2.BN^2=AN^2.AD^2\)

\(\Rightarrow AM^2\left(AD^2+BN^2-AD^2\right)=AN^2.AD^2\)

\(\Rightarrow AM^2\left(AN^2-AD^2\right)=AN^2.AD^2\)

\(\Rightarrow AM^2.AN^2=AM^2.AD^2+AN^2.AD^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\)

phần b bạn giải dài quá 

ta có tam giác BAF đồng dạng với BHA (g.g)

=> af/ah=bf/ab=ab/hc

<=> af/ah=ab/hb

<=>  ae/ah=bc/hb

mà hbc=bah

suy ra hbc đồng dạng với hae (cgc)

mà ti le diện tích đồng dạng bằng bình phương tỉ lệ đồng dạng

suy ra (ae/bc)^2=1/4

=>ae/ab=1/2

\(1,VT=2\left(a^3+b^3+c^3\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Ta có \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

              \(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\)

            \(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)

Cộng từng vế các bđt trên  ta được

\(VT\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Bây giờ ta cm:

\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Bất đẳng thức trên luôn đúng

Vậy bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Mấy bài này dễ mà, tách ra rồi Cauchy là xong hết =))

https://artofproblemsolving.com/community/c1101515h2076182_lemma_by_vo_quoc_ba_can Sao olm ko hiện link

Đề ra sai,nếu a,b,c không dương thì với 2 số âm 1 số dương thì chắc chắn có ít nhất một cái căn bậc 2 sẽ không tồn tại.

Chứng minh:trong 2 số âm 1 số dương thì chắc chắn tốn tại một căn thức mà cả tử và mẫu đều trái dấu

Không mất tính tổng quát giả sử đó là \(\sqrt{\frac{a}{b}}\)

Khi đó \(\frac{a}{b}< 0\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b}}\) không tồn tại

Vậy ta có đpcm

\(\left(\sqrt{x+4}-2\right)\left(\sqrt{4-x}+2\right)=-2x\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4+x}=a\ge0\\\sqrt{4-x}=b\ge0\end{cases}}\) thì ta có:

\(\hept{\begin{cases}\left(a-2\right)\left(b+2\right)=b^2-a^2\left(1\right)\\8=a^2+b^2\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (2) + 2.(1)  vế theo vế rút gọn ta được

\(\Leftrightarrow3b^2-a^2+4b-4a-2ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(3b+a+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)

\(\Rightarrow\sqrt{4+x}=\sqrt{4-x}\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

Ta có : \(\left(\sqrt{x+4}-2\right)\left(\sqrt{x+4}+2\right)=-2x\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x+4}\right)^2-2^2=-2x\)

\(\Leftrightarrow x+4-4=-2x\)

=> x = -2x

=> x + 2x = 0

=> 3x = 0

=> x = 0

Vậy x = 0. 

A B C M N D E    

tA CÓ:*\(BE\perp CD;AC\perp CD\Rightarrow BE//AC\)

\(\Rightarrow\frac{DM}{AM}=\frac{DE}{EC}\)

*\(NE\perp BD;BC\perp BD\Rightarrow NE//BC\)

\(\Rightarrow\frac{DN}{NB}=\frac{DE}{EC}\)

\(\Rightarrow\frac{DM}{AM}=\frac{DN}{NB}\Rightarrow MN//AB\)(ĐỊNH LÝ TA LÉT ĐẢO) (ĐPCM)

b, \(BE//AC\Rightarrow ME//AC\Rightarrow\frac{ME}{AC}=\frac{DE}{DC}\)(1)

\(MN//AB\Rightarrow\frac{MN}{AB}=\frac{DN}{BD}\)(2)

\(NE//DC\Rightarrow\frac{DN}{BD}=\frac{DE}{CD}=\frac{NE}{BC}\)(3)

TỪ (1)(2)(3)\(\Rightarrow\frac{MN}{AB}=\frac{ME}{AC}=\frac{NE}{BC}\Rightarrow\Delta MNE~\Delta ABC\Rightarrow\widehat{MNE}=\widehat{MEN}\Rightarrow MN=ME\)(4)

MÀ \(\widehat{MNE}+\widehat{MNB}=\widehat{MEN}+\widehat{MBN}\left(=90^O\right)\Rightarrow\widehat{MNB}=\widehat{MBN}\)

\(\Rightarrow\Delta MNB\)CÂN TẠI M => \(MN=MB\)(5)

TỪ (4)(5) => MB=ME => ĐPCM 

nnvghfdgx