Nếu có \(2\)học sinh đạt giải cả \(3\)môn thì có ít nhất \(3\)học sinh đạt giải \(2\)môn, \(4\)học sinh chỉ đạt giải \(1\)môn.

Khi đó có số giải là: 

\(3\times2+2\times3+1\times4=16\)(giải) lớn hơn \(15\)giải.

Do đó chỉ có \(1\)học sinh đạt giải cả \(3\)môn. 

Do bất kì hai môn nào cũng có ít nhất \(1\)học sinh đạt giải cả hai môn nên số học sinh đạt giải hai môn ít nhất là \(3\)học sinh.

Nếu có từ \(4\)học sinh trở lên đạt giải hai môn, thì có ít nhất \(5\)học sinh đạt \(1\)giải, khi đó tổng số giải ít nhất là: 

\(3\times1+2\times4+1\times5=16\)(giải) 

Do đó chỉ có \(3\)học sinh đạt \(2\)giải. Khi đó số học sinh đạt \(1\)giải là: 

\(\left(15-3\times1-2\times3\right)\div1=6\)(học sinh) 

Đội tuyển học sinh giỏi đó có số học sinh là: 

\(1+3+6=10\)(học sinh) 

lời giải có 10 bạn thôi

Xét tam giác \(BGA\)vuông tại \(G\): 

\(BA^2=BG^2+GA^2=\frac{4}{9}\left(BE^2+AM^2\right)\Leftrightarrow BE^2+\frac{BC^2}{4}=\frac{27}{2}\)(1)

Xét tam giác \(ABE\)vuông tại \(A\): 

\(BE^2=AB^2+AE^2=6+\frac{1}{4}AC^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC^2+AC^2=30\)

mà \(BC^2=AC^2+6\)

suy ra \(BC^2=18\Rightarrow BC=3\sqrt{2}\left(cm\right)\).

Ta có: 

\(abc\ge0\)

\(\left(a-4\right)\left(b-4\right)\left(c-4\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow abc-4\left(ab+bc+ca\right)+16\left(a+b+c\right)-64\le0\)

\(\Leftrightarrow4\left(ab+bc+ca\right)-16\left(a+b+c\right)+64\ge abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge8\)

\(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\le6^2-8=28\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}a=4\\b=2\\c=0\end{cases}}\)và các hoán vị. 

Bài 8: 

Diện tích phần màu trắng bằng số phần diện tích hình vuông lớn là: 

\(1-\frac{73}{75}=\frac{2}{75}\)

Diện tích phần màu trắng bằng số phần diện tích hình vuông nhỏ là: 

\(1-\frac{14}{15}=\frac{1}{15}\)

Quy đông tử số: \(\frac{2}{75}=\frac{2}{75},\frac{1}{15}=\frac{2}{30}\)

Nếu diện tích hình vuông lớn là \(75\)phần thì diện tích hình vuông nhỏ là \(30\)phần. 

Hiệu số phần bằng nhau là: 

\(75-30=45\)(phần) 

Diện tích hình vuông lớn là: 

\(240\div45\times75=400\left(cm^2\right)\)

Ta có: \(400=20\times20\)nên độ dài cạnh hình vuông lớn là \(20cm\).

Bài 2: 

Mỗi phút cả lớp 4A quét được số phần sân trường là: 

\(1\div15=\frac{1}{15}\)(sân trường) 

Mỗi phút \(\frac{3}{4}\)lớp 4A quét được số phần sân trường là: 

\(\frac{1}{15}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{20}\)(sân trường) 

Mỗi phút lớp 4B quét được số phần sân trường là: 

\(1\div24=\frac{1}{24}\)(sân trường) 

Mỗi phút \(\frac{4}{5}\)lớp 4B quét được số phần sân trường là: 

\(\frac{1}{24}\times\frac{4}{5}=\frac{1}{30}\)(sân trường) 

Mỗi phút \(\frac{3}{4}\)lớp 4A và \(\frac{4}{5}\)lớp 4B quét được số phần sân trường là: 

\(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{1}{12}\)(sân trường) 

\(\frac{3}{4}\)lướp 4A và \(\frac{4}{5}\)lớp 4B cùng quét thì xong sau số phút là: 

\(1\div\frac{1}{12}=12\)(phút) 

gọi cd là a cr là b

theo bài ra ta có:2b-a=5(1)

                        2a-2b=10(1)

     lấy (1)+(2) ta được:2b-a+2a-2b=a=15

vậy cd của hình chử nhật là 15 chiều rộng là 10

chu vi là (10+5)*2=50

theo de ba ta co 

2 rong - dai = 5

2dai - 2 rong = 10

vay khi gap dai len 2 lan thi dai tang len

10 + 5 = 15

vi dai tang len 2 lan co nghia la = them 1 lan cua no

1 lan dai = 15 vay dai la 15

rong la

(15+5): 2 = 10 m

chu vi hinh chu nhat

(15+10)x2=50 m

dap so 50m

ĐK: \(y\ne0,xy\ge0\).

\(4x^2+9y^2=16xy\)

Chia cả hai vế cho \(y^2\)ta được: 

\(4\left(\frac{x}{y}\right)^2+9=\frac{16x}{y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{4\pm\sqrt{7}}{2}\)

Với \(y>0\)thì \(x\ge0\)

\(P=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{y^2}}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}\sqrt{y}+y}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}+1-\sqrt{\frac{x}{y}}=1\)

Với \(y< 0\)thì \(x\le0\):

\(P=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{y^2}}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{-x}\sqrt{-y}-y}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=-\sqrt{\frac{x}{y}}-1-\sqrt{\frac{x}{y}}=-2\sqrt{\frac{x}{y}}-1\)

\(=-2\sqrt{\frac{4\pm\sqrt{7}}{2}}-1=-\left(1\pm\sqrt{7}\right)-1=-2\pm\sqrt{7}\)

Bạn tự vẽ hình nhé.

Gọi \(O\)là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Do \(SA=SB=SC\)nên \(SO\perp\left(ABC\right)\).

Gọi \(H\)là trung điểm \(BC\)thì \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{a^2-x^2}\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\sqrt{a^2-x^2}.2x=x\sqrt{a^2-x^2}\)

\(AO=\frac{AB.AC.BC}{4S_{ABC}}=\frac{a.a.2x}{4x\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}\)

\(SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^4}{4\left(a^2-x^2\right)}}=\frac{a\sqrt{3a^2-4x^2}}{2\sqrt{a^2-x^2}}\)

\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SO=\frac{1}{3}x\sqrt{a^2-x^2}.\frac{a\sqrt{3a^2-4x^2}}{2\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{ax\sqrt{3a^2-4x^2}}{6}\)

Ta có: \(x\sqrt{3a^2-4x^2}=\frac{1}{2}2x\sqrt{3a^2-4x^2}\le\frac{4x^2+3a^2-4x^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\)

Suy ra \(V_{S.ABC}\le\frac{a.3a^2}{4.6}=\frac{a^3}{8}\)

Dấu \(=\)khi \(2x=\sqrt{3a^2-4x^2}\Leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{6}}{4}\).

TH1: "Hòa đạt giải đồng" là đúng. 

Tức là "Hoàng không đạt giải đồng" là sai nên Hoàng đạt giải đồng, khi đó Hòa và Hoàng đều đạt giải đồng, mâu thuẫn. 

TH2: "Hoàng không đạt giải đồng" là đúng.

Khi đó Hoàng đạt giải vàng hoặc bạc, "Huy đạt giải đồng" là sai nên Huy đạt giải vàng hoặc bạc, khi đó Huy đạt giải đồng. 

Khi đó câu "Huy không đạt giải bạc" là đúng, mâu thuẫn. 

TH3: "Huy không đạt giải bạc" là đúng.

Huy đạt giải vàng hoặc đồng. "Hoàng không đạt giải đồng" là sai nên Hoàng đạt giải đồng, suy ra Huy đạt giải vàng. 

Khi đó Hòa đạt giải bạc. 

Chọn B.

+) Xét n≥27n≥27

Ta có : A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)

Dễ thấy 427=22⋅27=(227)2427=22⋅27=(227)2 là số chính phương

Do đó để A là số chính phương thì 1+41989+4n−271+41989+4n−27 là số chính phương

Đặt B2=1+41989+4n−27B2=1+41989+4n−27 và n−27=kn−27=k

Khi đó : B2=1+41989+4kB2=1+41989+4k

⇔B2−(2k)2=1+41989⇔B2−(2k)2=1+41989

⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989

Ta có : B+2k≤1+41989B+2k≤1+41989 và B−2k≥1B−2k≥1

⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k

Hay B−2k+41989≥B+2kB−2k+41989≥B+2k

⇔2⋅2k≤41989⇔2⋅2k≤41989

⇔2k+1≤23978⇔2k+1≤23978

⇔k+1≤3978⇔k+1≤3978

⇔k≤3977⇔k≤3977

Để n lớn nhất thì k lớn nhất,nên:

Nếu k=3977k=3977 ta có B2=1+41989+43977B2=1+41989+43977

⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1

⇔B2=(23977+1)2⇔B2=(23977+1)2( đúng )

Vậy k=3977⇒n=3977+27=4004k=3977⇒n=3977+27=4004( thỏa )

+) Xét n≤27n≤27 nên hiển nhiên n≤4004n≤4004

Suy ra n lớn nhất để A là số chính phương thì n=4004

Nếu thấy đúng thì k cho mình nha

\(A=4^{27}+4^{2016}+4^n\)

Với \(n\ge27\): 

\(A=4^{27}\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)

\(A\)là số chính phương suy ra ​\(B=4^{n-27}+4^{1989}+1\)là số chính phương.​

​\(B=\left(2^{n-27}\right)^2+2^{3978}+1\)​

\(=\left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977}+1\)

Với \(n=4004\)thì: 

\(B=\left(2^{3977}\right)^2+2.2^{3977}+1=\left(2^{3977}+1\right)^2\)là số chính phương. 

Với \(n>4004\)thì: 

\(B>\left(2^{3977+n-4004}\right)^2\)

\(B< \left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977+n-4004}+1\)

\(=\left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)

Suy ra \(\left(2^{3977+n-4004}\right)^2< B< \left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)do đó \(B\)không là số chính phương. 

Vậy giá trị lớn nhất của \(n\)là \(4004\).

Với \(n\ge3\)thì tích của \(n\)số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(3\)

mà \(4^n\equiv1\left(mod3\right),14\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow4^n-14\equiv2\left(mod3\right)\)do đó không thỏa mãn. 

Thử trực tiếp với \(n=1\)và \(n=2\)thu được \(n=2\)thỏa mãn. 

\(4^2-14=1.2\).

Vậy \(n=2\).

không biét