Khi viết một số có 4 chữ số vào bên phải số 400 ta sẽ được số \(\overline{400abcd}\) (với \(a,b,c,d\inℕ;0\le\left\{b,c,d\right\}\le9;1\le a\le9\) do \(\overline{abcd}\) là số có 4 chữ số)

Ta có: \(2000^2< \overline{400abcd}< 2003^2\)

\(\Rightarrow\overline{400abcd}\in\left\{2001^2,2002^2\right\}\)

\(2001^2=4004001\Rightarrow\overline{abcd}=4001\)

\(2002^2=4008004\Rightarrow\overline{abcd}=8004\)

Vậy các số có 4 chữ số cần tìm là: \(4001,8004\)

Đáp số: \(4001,8004\)

Đặt \(A=ab+bc+cd\le ab+ad+bc+cd=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) , ta có :

\(A\le\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow A\le\left(\frac{a+b+c+d}{2}\right)^2=\left(\frac{63}{2}\right)^2=\frac{3969}{4}\)

Vậy Max  \(A=\frac{3969}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+c=\frac{63}{2}\\b+d=\frac{63}{2}\\a,b,c,d>0\end{cases}}\)

a,b,c,d là các số nguyên dương mà bạn?

ĐKXĐ : \(n\ge0\)

+) Nếu \(n=0\)\(\Rightarrow S=2012^{4.0}+2013^{4.0}+2014^{4.0}+2015^{4.0}\)

\(=1+1+1+1=4\) ( là SCP )

+) Nếu \(n\ne0\)\(\Rightarrow S=\left(2012^4\right)^n+\left(2013^4\right)^n+\left(2014^4\right)^n+\left(2015^4\right)^n\)

- Xét ( 2012⁴ )ⁿ có CSTC là 6 ( 2⁴ = 16 )

- Xét ( 2013⁴ )ⁿ có CSTC là 1 ( 3⁴ = 81 )

- Xét ( 2014⁴ )ⁿ có CSTC là 6 ( 4⁴ = 256 )

- Xét ( 2015⁴ )ⁿ có CSTC là 5 ( 5⁴ = 625 )

=> S có CSTC là 8 ( 6 + 1 + 6 + 5 = 18 ) ( không phải là SCP )

Vậy S có thể là SCP <=> n = 0

A B C N M 1 2

giả thiết: CN vuông góc với AN , góc A₁= góc A₂, M là tđ

( Hình vẽ chỉ mang t/c minh họa)

Xét tam giác ANC vuông tại N có M là trung điểm AC=> AM=MN=MC (luông đúng khi A thay đổi)

=> tam giác AMN cân tại M => góc A2 = góc ANM

Mà A1=A2 (AN là phân giác góc BAC)=> A1=ANM(so le trong)=> MN//AB

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AC và MN//AB(cmt)=> MN đi qua trung điểm của BC

Vậy....