Trước tiên ta sẽ chứng minh \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ. 

Giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ. 

Khi đó \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\left(m,n\inℤ,\left(m,n\right)=1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2=2n^2\)

Suy ra \(m^2⋮2\Rightarrow m⋮2\Rightarrow m=2k\)

\(4k^2=2n^2\Leftrightarrow n^2=2k^2\)từ đây cũng suy ra \(n⋮2\)

Khi đó \(m,n\)cùng chia hết cho \(2\)(mâu thuẫn với \(\left(m,n\right)=1\))

Do đó ta có đpcm: \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ. 

Giả sử \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số hữu tỉ. 

Khi đó \(\sqrt{1+\sqrt{2}}=\frac{a}{b},\left(a,b\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow1+\sqrt{2}=\frac{a^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}=\frac{a^2}{b^2}-1\)là số hữu tỉ. 

Mà \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ do đó mâu thuẫn nên ta có đpcm. 

bài này chỉ cần cm căn 2 là số vô tỉ => đpcm

a)Ta có: BC²=5²=25 (1)

AB²+AC²=3²+4²=25 (2)

Từ (1);(2)=>BC²=AB²+AC²(=25)

=>tam giác ABC vuông tại A (PyTaGo đảo)

b)Xét tam giác ABD vuông ở A và tam giác EBD vuông ở E(vì DE _|_ BC) có:

BD:cạnh chung

^ABD=^EBD (vì BD là phân giác của ^ABE)

=>tam giác ABD=tam giác EBD(ch-gn)

=>DA=DE (cặp cạnh t.ứ)

b)Xét tam giác ADF có: DF>DA (cạnh huyền>cạnh góc vuông)

Mà DA=DE(cmt)

=>DF>DE

Xét tam giác ADF vuông ở A và tam giác EDC vuông ở E có:

DA=DE(cmt)

^ADF=^EDC (2 góc đối đỉnh)

=>tam giác ADF=tam giác EDC (cgv-gnk)

=>DF=DC (cặp cạnh t.ứ)

DF ko bằng DE bn nhé!

\(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\Rightarrow\left(a+b\right)\left(d+a\right)=\left(b+c\right)\left(c+d\right)\)

<=> ad + a² + bd + ab = bc + bd + c² + cd

<=> ad + a² + bd + ab - bc - bd - c² - cd = 0

<=> ad + a² + ab - bc - c² - cd = 0

<=> ( ad - cd ) + ( a² - c² ) + ( ab - bc ) = 0

<=> d( a - c ) + ( a - c )( a + c ) + b( a - c ) = 0

<=> ( a - c )( a + b + c + d ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a-c=0\\a+b+c+d=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c\\a+b+c+d=0\end{cases}\left(đpcm\right)}\)

\(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}\)

TH1: \(a+b+c+d=0\Rightarrowđpcm\)

TH2: \(a+b+c+d\ne0\Rightarrow\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}=1\)

\(\Rightarrow a+b=b+c\)

\(\Rightarrow a=c\left(đpcm\right)\)

Đặt \(z=a+bi\), \(z\ne i\). 

\(\left|z-1+2i\right|=\sqrt{10}\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b+2\right)^2=10\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2+4b+4=10\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=5+2a-4b\)(1)

\(\frac{2z+3-i}{z-i}=\frac{\left(2a+3\right)+\left(2b-1\right)i}{a+\left(b-1\right)i}=\frac{\left[\left(2a+3\right)+\left(2b-1\right)i\right]\left[a-\left(b-1\right)i\right]}{a^2+\left(b-1\right)^2}\) 

\(=\frac{a\left(2a+3\right)+\left(2b-1\right)\left(b-1\right)+\left[a\left(2b-1\right)-\left(2a+3\right)\left(b-1\right)\right]i}{a^2+\left(b-1\right)^2}\)

là số thuần ảo nên \(a\left(2a+3\right)+\left(2b-1\right)\left(b-1\right)=2a^2+3a+2b^2-3b+1=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(5+2a-4b\right)+3a-3b+1=0\)

\(\Leftrightarrow7a-11b+11=0\)

\(\Leftrightarrow a=\frac{11b-11}{7}\)

Thế vào (1) ta được: 

\(\left(\frac{11b-11}{7}\right)^2+b^2-5-\frac{2\left(11b-11\right)}{7}+4b=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=1\Rightarrow a=0\\b=\frac{3}{17}\Rightarrow a=\frac{-22}{17}\end{cases}}\)

Chỉ có \(z=\frac{-22}{17}+\frac{3}{17}i\)thỏa mãn. 

Vậy có \(1\)số phức \(z\)thỏa mãn ycbt. 

\(2021n-19\equiv21n+21\left(mod40\right)\)suy ra ta cần chứng minh \(n+1⋮40\)(vì \(\left(21,40\right)=1\)).

Đặt \(m=n+1\). Ta sẽ chứng minh \(m⋮40\).

Đặt \(2m+1=a^2,3m+1=b^2\).

\(2m+1\)là số lẻ nên \(a\)là số lẻ suy ra \(a=2k+1\).

\(2m+1=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1\Rightarrow m=2\left(k^2+k\right)\)nên \(m\)chẵn. 

do đó \(3m+1\)lẻ nên \(b\)lẻ suy ra \(b=2l+1\).

\(3m+1=4l^2+4l+1\Leftrightarrow3m=4l\left(l+1\right)\)có \(l\left(l+1\right)\)là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(2\)do đó \(4l\left(l+1\right)\)chia hết cho \(8\)suy ra \(m⋮8\)vì \(\left(3,8\right)=1\).

Giờ ta sẽ chứng minh \(m⋮5\).

Nếu \(m=5p+1\): \(2m+1=10p+3\)có chữ số tận cùng là \(3\)nên không là số chính phương.

Nếu \(m=5p+2\): \(3m+1=15m+7\)có chữ số tận cùng là \(7\)nên không là số chính phương. 

Nếu \(m=5p+3\): \(2m+1=10m+7\)có chữ số tận cùng là \(7\)nên không là số chính phương. 

Nếu \(m=5p+4\): \(3m+1=15m+13\)có chữ số tận cùng là \(3\)nên không là số chính phương. 

Do đó \(m=5p\Rightarrow m⋮5\).

Có \(m⋮8,m⋮5\)mà \(\left(5,8\right)=1\)suy ra \(m⋮\left(5.8\right)\Leftrightarrow m⋮40\).

Ta có đpcm. 

méo biêt

Hiện nay chị hơn em là 8 tuoiir. Biết rằng khi tuổi của em bằng tuổi của chị hiện nay thì tuổi của chị khi đó gấp 2 lần của em hiện nay. Tính tuổi 2 người hiện nay

1,Tuổi con hiện nay gấp 1,2 lần tuổi  mẹ nhưng biết rằng khi mẹ 35 tuổi thì con 14 tuổi . Tính tuổi con hiện nay?

[giải giúp mình nha . Mình cảm ơn ]

a) Có 4 hình tam giác . b) chu vi là 96 . c) còn diện tích mik chưa bt cách giải cơ . I am realy sory. 

                                                                   ^_^ HIX

Dựng hình bình hành \(ABEC\).

Khi đó \(E\in DC\).

Vì \(BD\perp AC\)mà \(AC//BE\)nên \(BE\perp BD\).

Kẻ \(BH\perp DE\). 

Xét tam giác \(BED\)vuông tại \(B\)đường cao \(BH\): 

\(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{BD^2}+\frac{1}{BE^2}\Leftrightarrow\frac{1}{4^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{BE^2}\Leftrightarrow BE=\frac{20}{3}\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD=\frac{1}{2}.BD.BE=\frac{1}{2}.5.\frac{20}{3}=\frac{50}{3}\left(cm^2\right)\)

Có ai biết đổi tên cho mình hông?

Tổng quát: 

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-\left(n-1\right)}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

Suy ra: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)

\(=1+2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=19\)

\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=18\)

Do đó ta có đpcm. 

\(A=ab\left(a^4-b^4\right)=ab\left(a^4-1-\left(b^4-1\right)\right)=b\left(a^5-a\right)-a\left(b^5-b\right)\)

Ta sẽ chứng minh \(x^5-x\)chia hết cho \(30\)với \(x\)nguyên.

Ta có: 

\(x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)\)

\(=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

Có: \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)là tích của \(5\)số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho \(2,3,5\)mà \(2,3,5\)đôi một nguyên tố cùng nhau nên nó chia hết cho \(2.3.5=30\)

\(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)là tích của \(3\)số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho \(2,3\)mà \(2,3\)nguyên tố cùng nhau nên nó chia hết cho \(2.3=6\)suy ra \(5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮30\)

suy ra \(x^5-x⋮30\)với \(x\)nguyên. 

Do đó \(A=ab\left(a^4-b^4\right)=ab\left(a^4-1-\left(b^4-1\right)\right)=b\left(a^5-a\right)-a\left(b^5-b\right)\)chia hết cho \(30\)với \(a,b\)là số nguyên. 

Bạn tham khảo ở đường link bên dưới nhé !

Nguồn :https://h7.net/hoi-dap/toan-8/chung-minh-a-ab-a-4-b-4-chia-het-cho-30-faq324664.html