khi lấy số bị trừ với số đó, lấy số chia cộng với số đó thì tổng của chúng không đổi và bằng 12+6=18. Số mới là 18:2=9. Vậy số cần tìm là 12-9=3 hay 9-6=3

kết bạn thế nào

Giả sử trong \(4\)số đã cho \(a,b,c,d\)có \(2\)số có cùng số dư khi chia cho \(4\). Giả sử hai số đó là \(a,b\)khi đó \(a-b\)chia hết cho \(4\)nên tích các hiệu của bốn số chia hết cho \(4\).

Nếu trong \(4\)số đã cho không có số nào chia hết cho \(4\), khi đó số dư của các số khi chia hết cho \(4\)là: \(0,1,2,3\). 

Giả sử \(a\)chia cho \(4\)dư \(3\), \(b\)chia cho \(4\)dư \(2\), \(c\)chia cho \(4\)dư \(1\), \(d\)chia hết cho \(4\).

Khi đó \(a-c\)chia hết cho \(2\), \(b-d\)chia hết cho \(2\).

Do đó tích \(\left(a-c\right)\times\left(b-d\right)\)chia hết cho \(2\times2=4\)do đó tích tất cả các hiệu của \(4\)số đã cho chia hết cho \(4\).

Câu 1: 

Mỗi đội sẽ đá với \(3\)đội còn lại. Nên có lượt trận là: \(3\times4=12\)(lượt) 

Mà số lượt trận được tính hai lần do hai đội \(A\)và \(B\)đá với nhau thì cũng là \(A\)đá với \(B\)và \(B\)đá với \(A\)

Nên có tổng số trận đấu là: \(12\div2=6\)(trận) 

Mỗi trận hòa cả hai đội sẽ được tổng số điểm là: \(1+1=2\)(điểm) 

Mỗi trận không hòa cả hai đội sẽ được tổng số điểm là: \(3+0=3\)(điểm) 

Giả sử tất cả các trận đều không hòa. Khi đó sau khi kết thúc vòng, tổng số điểm của các đội là: 

\(3\times6=18\)(điểm) 

Vòng bảng có số trận hòa là: 

\(\left(18-15\right)\div\left(3-2\right)=3\)(trận) 

Câu 2: 

Do tỉ số vận tốc của hai xe là \(\frac{5}{4}\)nên đến khi gặp nhau tỉ số quãng đường hai xe đã đi được cũng là \(\frac{5}{4}\).

Xe ô tô 1 đã đi được số phần quãng đường AB là: \(5\div\left(5+4\right)=\frac{5}{9}\)(AB) 

Xe ô tô 1 còn phải đi số phần quãng đường AB nữa là: \(1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\)(AB) 

Xe ô tô 2 đã đi được số phần quãng đường AB là: \(1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\)(AB) 

Xe ô tô 2 còn phải đi số phần quãng đường AB nữa là: \(1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\)(AB). 

Vận tốc lúc đầu xe ô tô 1 là \(5\)phần thì vận tốc lúc đầu ô tô 2 là \(4\)phần.

Vận tốc sau khi gặp nhau của ô tô 1 là: \(5-5\times\frac{1}{5}=4\)(phần).

Vận tốc sau khi gặp nhau của ô tô 2 là: \(4+4\times20\%=4,8\)(phần) 

Số phần thời gian ô tô 1 đi đến B là: 

\(\frac{4}{9}\div4=\frac{1}{9}\)(phần) 

Khi đó ô tô 2 đi được số phần quãng đường AB là: 

\(4,8\times\frac{1}{9}=\frac{8}{15}\)(AB) 

Ô tô 2 còn cách A số phần quãng đường AB là: 

\(\frac{5}{9}-\frac{8}{15}=\frac{1}{45}\)(AB) 

Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là: 

\(25\div\frac{1}{45}=1125\left(km\right)\)

Đặt \(x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}\)với \(a,b,c,d\inℤ^+;b,d\ne0;\left(a,b\right)=1;\left(c,d\right)=1\).

Ta có: \(x+\frac{1}{y}=\frac{a}{b}+\frac{d}{c}=\frac{ac+bd}{bc}\inℤ\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ac+bd⋮b\\ac+bd⋮c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c⋮b\\b⋮c\end{cases}}\Leftrightarrow b=c\)(vì \(\left(a,b\right)=1,\left(c,d\right)=1\)) 

Tương tự ta cũng có \(a=d\).

Khi đó \(x=\frac{a}{b}=\frac{d}{c}=\frac{1}{y}\). 

Bài toán ban đầu trở thành: tìm số hữu tỉ \(x>0\)để \(2x\inℤ,\frac{2}{x}\inℤ\).

\(2x\inℤ^+\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\)với \(a\inℤ^+\)​

\(\frac{2}{x}=\frac{2}{\frac{a}{2}}=\frac{4}{a}\inℤ^+\)mà \(a\inℤ^+\)nên \(a\inƯ\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\).

Từ đây bạn tìm ra được giá trị của \(x\)và \(y\).

Tổng số bi của An ban đầu là: 

\(23+24+25+28+39=139\)(viên) 

Sau khi cho Bình một lọ, số bi còn lại của An nếu số bi xanh là \(1\)phần thì số bi đỏ là \(3\)phần.

Tổng số phần bằng nhau là: 

\(1+3=4\)(phần) 

Do đó số bi còn lại của An là một số chia hết cho \(4\).

Ta có: \(139=4\times34+3\)chia cho \(4\)dư \(3\)nên lọ An cho Bình cũng chứa số bi chia cho \(4\)dư \(3\).

Trong các lọ có hai lọ có chứa số bi chia cho \(4\)dư \(3\)là: \(23\)và \(39\).

Nếu An cho Bình lọ chứa \(23\)viên bi thì số viên bi còn lại của An là: 

\(139-23=116\)(viên) 

Số bi xanh còn lại của An là: 

\(116\div4\times1=29\)(viên) 

Ta thấy không có lọ nào chứa \(29\)viên để số viên bi xanh là \(29\)nên trường hợp này loại. 

Nếu An cho Bình lọ chứa \(39\)viên bi thì số viên bi còn lại của An là: 

\(139-39=100\)(viên) 

Số bi xanh còn lại của An là: 

\(100\div4\times1=25\)(viên) 

Ta thấy có lọ \(25\)viên nên lọ đó chứa bi xanh. Do đó trường hợp này thỏa mãn. 

Vậy An đã cho Bình lọ chứa \(39\)viên bi. 

                                               số suất cỏ trong 24 ngày là:

                                            70x24=1680(suất cỏ)

                                 30 con bò ăn hết suất cỏ trong 60 ngày là:

                                              30x60=1800(suất cỏ)

                                  khoảng cách từ 24 đến 60 số ngày là:

                                               60-24=36(ngày) 

                                        trong 36 ngày cỏ mọc thêm là:

                                                1800-1680=120(suất)

                                         trong 96 ngày có số suất cỏ là:

                                                    1800+120=1920(ngày)

                                        số con bò ăn hết trong 96 ngày là:

                                                        1920:96=20(con)

- Gọi số cỏ đủ cho 1 con bò ăn trong 1 ngày là 1 suất cỏ.

- 70 con bò ăn trong 24 ngày hết số cỏ là :

          70 x 24 = 1680 (suất)

- 30 con bò ăn trong 60 ngày hết số suất cỏ là :

         30 x 60 = 1800 (suất)

Vậy số ngày 30 con ăn nhiều hơn số ngày 70 con ăn là :

         60 - 24 = 36 (ngày)

Trong 36 ngày số cỏ mọc được số suất là :

         1800 - 1680 = 120 (suất)

Trong 96 ngày nhiều hơn 60 ngày số ngày là :

         96 - 60 = 36 (ngày)

Vậy trong 36 ngày này cỏ sẽ mọc thêm 120 suất bò ăn so với 60 ngày.

Tổng số suất cỏ trong 96 ngày :

       180 0 + 120 = 1920 (suất)

Số con bò ăn 1920 suất cỏ trong 96 ngày là :

       1920 : 96 = 20 (con)

\(2\sqrt{b+c-4}\le\frac{4+b+c-4}{2}=\frac{b+c}{2}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b+c-4}}\ge\frac{4a}{b+c}\)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{b}{\sqrt{a+c-4}}\ge\frac{4b}{a+c},\frac{c}{\sqrt{a+b-4}}\ge\frac{4c}{a+b}\).

Bất đẳng thức cần chứng minh sẽ đúng nếu ta chứng minh được: 

\(\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

(đúng, theo bất đẳng thức Nesbitt) 

Do đó ta có: \(\frac{a}{\sqrt{b+c-4}}+\frac{b}{\sqrt{a+c-4}}+\frac{c}{\sqrt{a+b-4}}\ge6\)

Dấu \(=\)khi \(a=b=c=2\).

\(P=\left(1+2a\right)\left(1+2bc\right)\le\left(1+2a\right)\left(1+b^2+c^2\right)=\left(1+2a\right)\left(2-a^2\right)\)

\(=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}a\right)\left(2-a^2\right)\le\frac{3}{8}\left(\frac{8}{3}+\frac{4}{3}a-a^2\right)^2=\frac{3}{8}\left[\frac{28}{9}-\left(a-\frac{2}{3}\right)^2\right]^2\)

\(\le\frac{3}{8}.\left(\frac{28}{9}\right)^2=\frac{98}{27}\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}b=c\\\frac{2}{3}+\frac{4}{3}a=2-a^2,a-\frac{2}{3}=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2}{3}\\b=c=\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{3}\end{cases}}\).

Vậy \(maxP=\frac{98}{27}\).

Ta co : \(P=2a+2bc+2abc+1\)

Ap dung bdt Co-si : \(P\le a^2+b^2+c^2+2abc+2=2abc+3\)

Tiep tuc ap dung Co-si : \(1=a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}< =>\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le\frac{1}{3}\)

\(< =>a^2b^2c^2\le\frac{1}{27}< =>abc\le\frac{1}{\sqrt{27}}\)

Khi do : \(2abc+3\le2.\frac{1}{\sqrt{27}}+3=\frac{2}{\sqrt{27}}+3\)

Suy ra \(P\le a^2+b^2+c^2+2abc+2\le\frac{2}{\sqrt{27}}+3\)

Dau "=" xay ra khi va chi khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Vay Max P = \(\frac{2}{\sqrt{27}}+3\)khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 

p/s : khong biet dau = co dung k nua , minh lam bay do

ai giup mik nha

Xét với \(k=100\)ta có tập \(\left\{101,102,...,200\right\}\). Dễ thấy không có hai số nào mà số này là bội của số kia. 

Xét với \(k=101\): 

Ta lấy ngẫu nhiên \(101\)số tự nhiên từ \(200\)số đã cho \(\left\{a_1,a_2,...,a_{101}\right\}\).

Ta biểu diễn \(101\)số này dưới dạng: 

\(a_1=2^{x_1}m_1,a_2=2^{x_2}m_2,...,a_{101}=2^{x_{101}}m_{101}\)(với \(m_1,...,m_{101}\)là các số lẻ, \(x_1,...,x_{101}\)là các số tự nhiên) 

Vì từ \(1\)đến \(200\)có \(100\)số tự nhiên lẻ nên trong \(101\)số đã lấy chắc chắn có ít nhất hai số khi biểu diễn dưới dạng trên có cùng giá trị \(m_i\). Khi đó hai số đó là bội của nhau. 

Vậy \(k=101\)là giá trị nhỏ nhất cần tìm. 

Vì \(p\)là số nguyên tố lớn hơn \(5\)nên \(p\)có dạng \(5k+1\)hoặc \(5k+2\)hoặc \(5k+3\)hoặc \(5k+4\)với \(k\inℕ^∗\).

- Với \(p=5k+1\): 

\(p+14=5k+15⋮5\)nên không là số nguyên tố. 

- Với \(p=5k+2\):

\(p^2+6=\left(5k+2\right)^2+6=25k^2+20k+10⋮5\)nên không là số nguyên tố. 

- Với \(p=5k+3\): 

\(p^2+6=\left(5k+3\right)^2+6=25k^2+30k+15⋮5\)nên không là số nguyên tố. 

Do đó \(p=5k+4\).

\(k\)là số lẻ do nếu \(k\)chẵn thì \(p⋮2\)suy ra \(k=2l+1\Rightarrow p=10l+9\).

\(p+11=10l+20⋮10\).

Ta có đpcm.