để 3n+1/n+1 nguyên => 3n+1 chia hết cho(chc)  n+1

=>3n+1- 2(n+1) chc n+1

=>n-1 chc n+1=>n<0 =>n-1+(-2) chc n+1 => -2 chc n+1

ta có ; B (-2)={ 1;2;-1;-2}

(+) n+1 = 1 (loại)

(+) n+1 = 2 (loại)

(+) n+1 = -1 => n= -1 =.n-1:n+1 =2 ( thỏa mãn)

(+)n+1 = -2 => n=-3  => n-1: n+1 =2 ( thỏa mãn ) 

VẬY n thuộc {z} (số nào cũng đc)

 nhớ đúng nha!

có chút xíu lỗi : n thuộc số nguyên âm nha 

 Cho tam giác ABC đều. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE, BCF. Chứng minh:a) Ba điểm D, B, F thẳng hàng+ Ba điểm D, A, E thẳng hàng + Ba điểm E, C, F thẳng hàng b) AF= BE= CDc) Ba đường thẳng AF, BE, CD cùng đi qua một điểm.

 Cho tam giác ABC đều. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE, BCF. Chứng minh:a) Ba điểm D, B, F thẳng hàng+ Ba điểm D, A, E thẳng hàng + Ba điểm E, C, F thẳng hàng b) AF= BE= CDc) Ba đường thẳng AF, BE, CD cùng đi qua một điểm.

Hãy tìm số A, biết rằng ta thêm vào số A là 12 đơn vị rồi đem tổng tìm được chia cho 5 thì dư 2, nếu thêm vào số A là 19 đơn vị rồi đem tổng chia cho 6 thì dư 1, chia cho 7 dư 5 và số A lớn hơn 200 và nhỏ hơn 300

Hãy tìm số A, biết rằng ta thêm vào số A là 12 đơn vị rồi đem tổng tìm được chia cho 5 thì dư 2, nếu thêm vào số A là 19 đơn vị rồi đem tổng chia cho 6 thì dư 1, chia cho 7 dư 5 và số A lớn hơn 200 và nhỏ hơn 300

làm r đấy nhó

Xét \(A+12\)chia 5 dư 2 \(\Rightarrow\left(A+12\right)-2⋮5\Rightarrow A+10⋮5\Rightarrow A⋮5\)(vì \(10⋮5\))

Xét \(A+19\)chia 6 dư 1 \(\Rightarrow\left(A+19\right)-1⋮6\Rightarrow A+18⋮6\Rightarrow A⋮6\)(vì \(18⋮6\))

Xét \(A+19\)chia 7 dư 5 \(\Rightarrow\left(A+19\right)-5⋮7\Rightarrow A+14⋮7\Rightarrow A⋮7\)(vì \(14⋮7\))

Vậy A chia hết cho cả 5,6,7 vậy A có dạng \(5\times6\times7\times k=210\times k\)với k là số tự nhiên

Mà \(200< 210\times k< 300\Rightarrow k=1\Rightarrow A=210\)

Đánh số các người tham gia từ \(A_1\)đến \(A_{16}\).

Giả sử \(A_1\)thắng nhiều nhất. 

Có: \(\frac{16\times15}{2}=120\)(ván đấu) suy ra \(A_1\)thắng \(\ge\frac{120}{16}=7,5\)

suy ra \(A_1\)thắng ít nhất \(8\)ván. 

Không mất tính tổng quát, giả sử \(A_1\)thắng \(A_2,A_3,...,A_9\).

Giả sử trong những người này \(A_2\)thắng nhiều nhất.

\(A_2,...,A_9\)đánh \(\frac{8\times7}{2}=28\)(ván) suy ra \(A_2\)thắng \(\ge\frac{28}{8}=3,5\)

suy ra \(A_2\)thắng ít nhất \(4\)ván (khi đấu với \(A_3,...,A_9\))

Giả sử \(A_2\)thắng \(A_3,...,A_6\).

Giả sử \(A_3\)thắng nhiều nhất trong những người này. 

\(A_3,...,A_6\)đánh \(\frac{4\times3}{2}=6\)(ván) suy ra \(A_3\)thắng \(\ge\frac{6}{4}=1,5\)

suy ra \(A_3\)thắng ít nhất \(2\)ván. 

Giả sử \(A_3\)thắng \(A_4,A_5\). 

Khi đó giả sử \(A_4\)thắng \(A_5\)thì ta có dãy thỏa mãn là: \(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\). 

Ta có đpcm. 

linh tinh

Ta có: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\)

\(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}>1\)

mà \(\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\right)+\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}\right)\)

\(=\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}=4\)

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\)là số nguyên 

do đó \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}+1-\frac{c}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{a+b}-\frac{b}{b+c}+\frac{d}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow b\left(c+d\right)\left(d+a\right)-d\left(a+b\right)\left(b+c\right)=0\)(vì \(a\ne c\))

\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(ac-bd\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ac=bd\)(vì \(b\ne d\))

Khi đó \(abcd=ac.ac=\left(ac\right)^2\)là số chính phương. 

Mình mới thử chương trình lớp 9 nên chưa hiểu nhiều lắm. Cảm ơn nhé!

a) Ta có 27¹¹ = (3³)¹¹ = 3³³

81⁸ = (3⁴)⁸ = 3³²

Vì 32 < 33

=> 3³² < 3³³

=> 81⁸ < 27¹¹

b) Ta có 625⁵ = (5⁴)⁵ = 5²⁰

125⁷ = (5³)⁷ = 5²¹

Vì 20 < 21

<=> 5²⁰ < 5²¹

=> 625⁵ < 125⁷

c) Ta có 5³⁶ = (5³)¹² = 125¹²

11²⁴ = (11²)¹² = 121¹²

Vì 125 > 121

<=> 125¹² > 121¹²

<=> 5³⁶ > 11²⁴

a. 27¹¹ và 81⁸

Ta có :

81⁸ = ( 27 ) ^{3 . 8} = 27²⁴

Ta có : 27¹¹ < 27²⁴

=> 27¹¹ < 81⁸

Vậy 27¹¹ < 81⁸

b. 625⁵ và 125⁷

Ta có :

625⁵ = ( 125 )^{5 . 7} = 125³⁵

Ta có : 125³⁵ > 125⁷

=> 625⁵ > 125⁷

Vậy  625⁵ > 125⁷

c. 5³⁶ và 11²⁴

Ta có :

5³⁶ = 5^{3 . 12} = ( 5³ )¹² = 125¹²

11²⁴ = 11 ^{2 . 12} = ( 11² )¹² = 22¹²

Ta có 125¹² < 22¹² 

=> 5²⁶ < 11²⁴

Vậy 5²⁶ < 11²⁴

Ta có :  \(\Sigma\dfrac{1}{a^2+b^2+1}=3-\Sigma\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\)

AD BĐT C-S ta được : 

\(\Sigma\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)  \(=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)

\(\ge\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ac\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)  

\(=2+\dfrac{2\left(ab+bc+ac\right)-6}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)   \(\ge2\) ( điều này luôn đúng với ab + bc + ac \(\ge3\) )  

Suy ra :  ​​\(\Sigma\dfrac{1}{a^2+b^2+1}\)  \(\le3-2=1\)

" = " <=> a = b = c = 1

Vậy ... 

Biến thể của bài toán : Cho a ; b ; c > 0 \(a+b+c=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) 

Chứng minh : \(\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}\le\frac{1}{2}\)

Giải: 

6³.9⁷.4³-16².81⁴ = (2.3)³.(3²)⁷.(2²)³

                           = 2³.3³.3¹⁴.2⁶

                           = 2⁹.3¹⁷

16².81⁴ = (2⁴)².(3⁴)⁴

             = 2⁸.3¹⁶

             = 2⁸.3^2.8 = (2.3²)⁸ = 18⁸

(24.3)³ = 24³.3³ 

Đấy là đáp án của tôi !

Chúc bạn học tốt!