Có hai trường hợp \(\widehat{IEC}=90^o\): hoặc \(\widehat{EIC}=90^o\) 

TH1: Tam giác IEC vuông tại E

Đường tròn c: Đường tròn qua E với tâm I Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng i_1: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [I, E] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [I, C] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [B, I] A = (-2.96, 2.66) A = (-2.96, 2.66) A = (-2.96, 2.66) C = (7.69, 2.52) C = (7.69, 2.52) C = (7.69, 2.52) Điểm B: Điểm trên g Điểm B: Điểm trên g Điểm B: Điểm trên g Điểm E: Trung điểm của h Điểm E: Trung điểm của h Điểm E: Trung điểm của h Điểm I: Giao điểm đường của j, l Điểm I: Giao điểm đường của j, l Điểm I: Giao điểm đường của j, l

Do I là tâm đường tròn nội tiếp nên BI, CI là các phân giác.

Xét tam giác IBC, có IE là đường cao đồng thời là trung tuyến nên nó là tam giác cân tại I. Vậy \(\widehat{IBE}=\widehat{ICE}\Rightarrow2.\widehat{IBE}=2.\widehat{ICE}\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Vậy ABC là tam giác vuông cân hay \(\frac{AB}{AC}=1;\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\)

TH2: Tam giác IEC vuông tại I.

Đường tròn d: Đường tròn qua D với tâm I Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng i_1: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [I, E] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [I, C] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [B, I] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [I, E'] A = (-2.96, 2.66) A = (-2.96, 2.66) A = (-2.96, 2.66) C = (7.69, 2.52) C = (7.69, 2.52) C = (7.69, 2.52) Điểm B: Điểm trên g Điểm B: Điểm trên g Điểm B: Điểm trên g Điểm E: Trung điểm của h Điểm E: Trung điểm của h Điểm E: Trung điểm của h Điểm I: Giao điểm đường của j, l Điểm I: Giao điểm đường của j, l Điểm I: Giao điểm đường của j, l Điểm E': E đối xứng qua q Điểm E': E đối xứng qua q Điểm E': E đối xứng qua q

Ta thấy \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

Xét tam giác IBC , ta có \(\widehat{BIE}=180^o-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)-\widehat{CIE}=180^o-45^o-90^o=45^o\)

Trên AB lấy điểm E' sao cho BE' = BE. Ta thấy ngay \(\Delta BEI=\Delta BE'I\left(c-g-c\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{BIE'}=\widehat{BIE}=45^o\\IE=IE'\end{cases}}\)

Vậy thì \(\widehat{E'IC}=180^o\Rightarrow\) E', I, C thẳng hàng.

Xét tam giác BE'C, theo tính chất đường phân giác trong tam giác thì 

\(\frac{E'I}{IC}=\frac{BE'}{BC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}\)

Vậy thì \(\frac{IE}{IC}=\frac{1}{2}\Rightarrow tan\widehat{BCE'}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{BCE}\approx26^o34'\)

\(\frac{AB}{AC}=tan\widehat{BCA}=\frac{4}{3}\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5};\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}.\)

 a) có nhiều cách chứng minh 
P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) 
P + 3 = 1+ a/(b+c) + 1+ b/(c+a) + 1+ c/(a+b) 
P + 3 = (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) 
P + 3 = (a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] (*) 

ad bđt cô si cho 3 số: 
2(a+b+c) = (a+b) + (b+c) + (c+a) ≥ 3.³√(a+b)(b+c)(c+a) 
1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 3.³√1/(a+b)(b+c)(c+a) 

nhân lại vế theo vế 2 bđt: 2(a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9 
=> P + 3 ≥ 9/2 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c 
- - - 
cách khác: P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) 
M = b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b) 
N = c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b) 

Thấy: M + N = 3 
P + M = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) ≥ 3 (cô si cho 3 số) 
P + N = (a+c)/(b+c) + (b+a)/(c+a) + (c+b)/(a+b) ≥ 3 (cô si) 

=> 2P + M + N ≥ 6 => 2P + 3 ≥ 6 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; đẳng thức khi a = b = c 
-------------- 
b) ad bđt Bunhia: 1² = [2.(2x) + 1.y]² ≤ (2²+1²)(4x²+y²) => 4x² + y² ≥ 1/5 (đpcm) 
dấu "=" khi 2x/2 = y/1 và 4x+y = 1 <=> x = y = 1/5 
- - - 
Có thể không cần Bunhia, ad bđt a² + b² ≥ 2ab (*) 
(*) quá hiển nhiên từ (a-b)² ≥ 0 
x² + 1/25 ≥ 2x/5 <=> 4x² ≥ 8x/5 - 4/25 (1*) 
y² + 1/25 ≥ 2y/5 <=> y² ≥ 2y/5 - 1/25 (2*) 

lấy (1*)+(2*) => 4x²+y² ≥ 8x/5+2y/5 - 4/25 - 1/25 = 2(4x+y)/5 - 5/25 = 1/5 (đpcm) 
dấu "=" khi x = y = 1/5 
------------- 
c) ad bđt cô si cho 3 số: 
ab/c + bc/a + ca/b ≥ 3.³√(ab/c)(bc/a)(ca/b) = 3.³√abc 
- - - - 
nếu như đề đã ghi, thay a = b = c = 2 thì VT = 2+2+2 = 6 < VP = 2.2.2 = 8  

*C/m: \(9(a+b)(b+c)(c+a)\ge8(a+b+c)(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc\ge0\)

\(VT=a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2\ge6\sqrt[6]{\left(abc\right)^6}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

# Dôn lùng đợi chiều tối về t giải phần căn bậc 4 kia cho :)

với \(x+y+z=3\Rightarrow3x=x\left(x+y+z\right)=x^2+xy+xz\Rightarrow3x+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

tương tự mấy cái kia nhé

Áp dụng bđt bu nhi a ta có \(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)

=> \(x+\sqrt{3x+yz}\ge x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

=> \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) 

tương tự mấy cái kia rồi cộng vào ta có 

\(A\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (ĐPCM)

bằng 1

Đặt K = 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2¹⁰⁰

K = 4 + (2³ + 2⁴ + 2⁵) + ......... + (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

<=> K = 4 + (8 + 16 + 32) + ... + (1.5845633e+29) +( 3.1691265e+29 ) + (6.338253e+29) + (1.2676506e+30)

<=>K = 4 + 56 + ... + (1.5845633e+29) +( 3.1691265e+29 ) + (6.338253e+29) + (1.2676506e+30)

<=>K = 60 + ... + (1.5845633e+29) +( 3.1691265e+29 ) + (6.338253e+29) + (1.2676506e+30)

<=> K = 60 + ... + 2.3768449e+30

<=> K = 2.3768449e+30 + ... + 60 + r 

=> r = 1.1789905e+27

=> r =  1

Đ/s:

Ps: Không chắc đâu nhé! Nhưng dù sao giúp bạn là mình vui rồi!

C= 2535301200456458802993406410744

1116 là kết quả của mk 

đúng ko sai

Một cách khác nhé!

Đặt a=2014, b=2015 => b-a=1

Khi đó: \(Q=\sqrt{a^2+a^2b^2+b^2}=\sqrt{\left(b-a\right)^2+a^2b^2+2ab}=\sqrt{a^2b^2+2ab+1}=\sqrt{\left(ab+1\right)^2}\)

\(=ab+1=2014.2015+1=4058211\)

Đặt \(2014=a\) thì ta có:

\(Q=\sqrt{a^2+a^2.\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2}\)

\(=\sqrt{a^4+2a^3+3a^2+2a+1}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+a+1\right)^2}=a^2+a+1\)

Vậy Q là số nguyên

Áp dụng bất đẳng thức: x² + a²y² \(\ge\)2axy, ta có:

\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left(xy+yz+zx\right)\le\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left(x^2+y^2\right)+\left[y^2+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2x^2\right]+\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2z^2+x^2\right]}{2}\)=

\(\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)\left(x^2+y^2\right)+2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2z^2}{2}\)

\(\Rightarrow\left(1+\sqrt{5}\right)\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\left(x^2+y^2\right)+\left(3+\sqrt{5}\right)z^2\)\(\Rightarrow x^2+y^2-2z^2\ge\sqrt{5}-1\)\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}-1\)

Vậy GTNN của P là \(\sqrt{5}-1\)khi \(x=y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}z.\)

hãy tìm ĐKXĐ trước rồi cứ lần lượt bình phương, Sau đó giải pt 

A B I K M D

Ta thấy \(\Delta KMB\sim\Delta MAB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{KM}{MA}=\frac{MB}{AB}=\frac{KB}{MB}\) 

Vậy thì \(MB^2=AB.KB=\frac{AB^2}{4}\Rightarrow\frac{MB}{AB}=\frac{1}{2}\)

Suy ra \(\frac{KM}{MA}=\frac{1}{2}\)

Áp dụng Ta let ta có ngay \(PM=\frac{1}{3}AM=\frac{2}{3}KM=PI\)

Vậy PM = PI (đpcm)

Sao đề chỉ có dấu phẩy thế kia?

Xem lại đề.

Nếu \(P\left[Q\left(x\right)\right]=0\)với mọi x thì

\(P\left(2005\right)=0< \frac{1}{64}\)

mình đang phân vân nhưng cx góp ý kiến nha :D

ta có P(x) có 3 nghiệm phân biệt và P(Q(x))=0 nên Q(x) có 3 giá trị lần lượt là nghiệm của P(x)

ko biết cái này cs giúp ích hay không nhưng nhìn vào đề đã thấy như vậy