Ta có \(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

            \(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\) thì:

\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2-y^4+y^4=t^2=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)

Vì \(x,y\in Z\) nên \(x^2\in Z,\)\(5xy\in Z,\)\(5y^2\in Z\)\(\Rightarrow\)\(x^2+5xy+5y^2\in Z\)

Vậy A là số chính phương.

sao may ko ket ban

A B C D M N E F O I

Gọi giao điểm của AC và BD là O, giao điểm của NC và EF là I.

Xét tam giác ANC có M là trung điểm AN, O là trung điểm AC nên MO là đường trung bình tam giác ANC. Vì vậy, MO hay BD song song NC.

Ta có: \(\widehat{EFC}=\widehat{NCF}=\widehat{CDM}=\widehat{DCA}\Rightarrow\) EF // AC.

b. Kéo dài EF cắt AN tại M', ta chứng minh M' = M.

Thật vậy, xét tam giác ANC có I là trung điểm NC, IM' song song AC nên M' là trung điểm AN. Vậy M' trùng M hay M, E ,F thẳng hàng.

Hoàng Thị Thu Huyền cô Huyền ơi cho em hỏi tại s anh Việt và cô gv (QT) s wá trời điểm ạ

Làm biếng lắm

đm đéo lm thì đừng có mà cmt là lm biếng đéo bt lm nói mẹ luôn đi cho đỡ daì dòng AZUMA ạ

Ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

Tương tự : \(\frac{ac}{\sqrt{3b+ac}}=\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\); \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow P=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\)

             \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)

 \(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Suy ra : Max P \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

đây nhé Câu hỏi của Steffy Han - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

C B A M N x y 2y 2x O

Giả sử hai đường trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau tại O.

Đặt OM = y , ON = x (x,y > 0) , suy ra OB = 2x , OC = 2y

Ta có : \(AB^2=\left(2BM\right)^2=4BM^2=4\left(4x^2+y^2\right)\)

\(AC^2=\left(2CN\right)^2=4CN^2=4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(4x^2+y^2\right)+4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5\left[\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2\right]\)

\(=5\left(OB^2+OC^2\right)=BC^2\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=5BC^2\)

A O C B
Gọi OA là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}.\)Ta có: \(\widehat{CAO}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}.\)
Xet tam giác CAO và tam giác CBA:
Có: \(\widehat{C}\)là góc chung.
\(\widehat{CAO}=\widehat{CBA}.\)
Vậy tam giác CAO đồng dạng với tam giác CBA.
Ta có: \(\frac{CA}{CB}=\frac{CO}{CA}\Rightarrow CA^2=CB.CO\Leftrightarrow CO=\frac{CA^2}{CB}=\frac{8^2}{12}=\frac{16}{3}.\)
Vậy \(BO=12-\frac{16}{3}=\frac{20}{3}.\)
Mặt khác AO là tia phân giác của góc A nên:

\(\frac{OC}{OB}=\frac{AC}{AB}=\frac{16}{3}:\frac{20}{3}=\frac{4}{5}.\)
Vậy: \(AB=AC:\frac{4}{5}=12:\frac{4}{5}=15.\)

AB= 15 

Bài 1:

Ta có : \(\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(x^2-7\right)\left(x^2-10\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x^2-1\right)\left(x^2-10\right)\right].\left[\left(x^2-4\right)\left(x^2-7\right)\right]< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-11x^2+10\right)\left(x^4-11x^2+28\right)< 0\)

Đặt \(y=x^4-11x^2+19\), ta có : \(\left(y-9\right)\left(y+9\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow y^2< 81\Leftrightarrow-9< y< 9\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y>-9\left(1\right)\\y< 9\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (1) được : \(x^4-11x^2+28>0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2-7\right)\left(x^2-4\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2>7\\x^2< 4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>\sqrt{7}\\x< -\sqrt{7}\end{cases}}\)hoặc  \(-2< x< 2\)

Giải (2) được : 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2< 1\\x^2>10\end{cases}}\)(loại)  hoặc \(1< x^2< 10\)(nhận)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2>1\\x^2< 10\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x< -1\\x>1\end{cases}}\)và \(-\sqrt{10}< x< \sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}-\sqrt{10}< x< -1\\1< x< \sqrt{10}\end{cases}}\)

Kết hợp (1) và (2) : \(-2< x< -1\);;\(1< x< 2\); \(\sqrt{7}< x< \sqrt{10}\); \(-\sqrt{10}< x< -\sqrt{7}\)

Suy ra các giá trị nguyên của x là : \(x\in\left\{-3;3\right\}\)

Bài 1: 

Có: \(x^2-10< x^2-7< x^2-4< x^2-1\)

Để tích trên < 0

: \(\left(x^2-1\right);\left(x^2-4\right);\left(x^2-7\right)\)cùng dương và \(\left(x^2-10\right)\)âm

\(\Rightarrow x^2-10< 0\)và\(x^2-7>0\)

\(\Rightarrow x^2< 10\)và \(x^2>7\)

\(\Rightarrow7< x^2< 10\)

\(\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=+;-3\)

dat \(x^2-2x+2=y\)

ta co pt

\(y^4+20x^2y^2+64x^4\)

\(=\left(8x^2\right)^2+2.8x^2.\frac{10}{8}y^2+\left(\frac{10^{ }}{8^{ }}y^2\right)^2-\frac{36}{64}y^4\)

\(=\left(8x^2+\frac{10}{8}y^2\right)^2-\left(\frac{6}{8}y^2\right)^2\)

\(=\left(8x^2+\frac{y^2}{2}\right)\left(8x^2+2y^2\right)\)

bạn thay y  nữa là xong

\(\left(x^2-2x+2\right)^4+20x^2\left(x^2-2x+2\right)^2+64x^4\)

\(=\left(x^2-2x+2\right)^4+20x^2\left(x^2-2x+2\right)^2+100x^4-36x^4\)

\(=\left[\left(x^2-2x+2\right)^2+10x^2\right]^2-36x^4\)

\(=\left(x^4-4x^3+18x^2-8x+4\right)^2-\left(6x^2\right)^2\)

\(=\left(x^4-4x^3+24x^2-8x+4\right)\left(x^4-4x^3+12x^2-8x+4\right)\)

A=\(\frac{1}{1.2}\)+\(\frac{1}{3.4}\)+...+\(\frac{1}{2017.2018}\)

A=1-\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{3}\)+...+\(\frac{1}{2017}\)-\(\frac{1}{2018}\)

A=1-\(\frac{1}{2018}\)

A=\(\frac{2017}{2018}\)

\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{2017.2018}\)

\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}\)

\(A=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2017}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2018}\right)\)

\(A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2018}\right)\)

\(A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1009}\right)\)

\(A=\frac{1}{1010}+\frac{1}{1011}+...+\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}\)

Đến đây bình thường ta nhóm 2 số vào với nhau nhưng ở đây có lẻ số hạng nên không nhóm được => đề sai