1)  

Tìm Max : Viết A dưới dạng : \(A=\frac{-\left(x^2-2x+1\right)+2x^2+4}{x^2+2}=-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}+2\le2\)với mọi x

\(\Rightarrow MaxA=2\Leftrightarrow x=1\)

Tìm Min : Viết A dưới dạng : \(A=\frac{2x^2+4x+6}{2\left(x^2+2\right)}=\frac{\left(x^2+4x+4\right)+x^2+2}{2\left(x^2+2\right)}=\frac{\left(x+2\right)^2}{2\left(x^2+2\right)}+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)với mọi x

\(\Rightarrow MinA=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-2\)

2) Biểu diễn M dưới dạng : 

\(M=a^3+a^2-b^3+b^2+ab-3a^2b+3ab^2-3ab=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\right)=\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)^3\)

Thay a-b = 1 vào M được : \(M=2\)

3) \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24=\left[\left(x+1\right)\left(x+4\right)\right].\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]-24=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)-24\)Đặt \(t=x^2+5x+5\)thay vào biểu thức trên được \(\left(t-1\right)\left(t+1\right)-24=t^2-25=\left(t-5\right)\left(t+5\right)=\left(x^2+5x\right)\left(x^2+5x+10\right)=x\left(x+5\right)\left(x^2+5x+10\right)\)

Vậy kết quả phân tích thành nhân tử là : \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24=x\left(x+5\right)\left(x^2+5x+10\right)\)

4) 

a) \(\left(a+b+c\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=1\Leftrightarrow1+2\left(ab+bc+ac\right)=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow x=ak;y=bk;z=ck\Rightarrow xy+yz+zx=k^2ab+k^2bc+k^2ac=k^2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

Vậy xy + yz + zx = 0 (đpcm)

b) Theo bài ra ta có :  \(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\left(1\right)\\a^2+b^2+c^2=1\left(2\right)\\a^3+b^3+c^3=1\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và  (3) suy ra được :  \(\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)^3=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

Do đó : \(a+b=0\)hoặc \(b+c=0\)hoặc \(c+a=0\)

Nếu \(a+b=0\Rightarrow c=1\Rightarrow a^2+b^2=0\)

Đến đây ta có hệ : \(\hept{\begin{cases}a+b=0\\a^2+b^2=0\\a^3+b^3=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=0}\)

Làm tương tự với \(b+c=0\)và \(c+a=0\)

Kết luận tập nghiệm : \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right);\left(0;1;0\right);\left(1;0;0\right)\)

Lời giải : Ta có x + y - 3 = xy(1 - 2xy) 
<=> xy + 3 = x4 + y4 + 2x2y2 
<=> xy + 3 = (x2 + y2)2 (1). 
Do (x2 - y2)2 ≥ 0 với mọi x, y, dễ dàng suy ra (x2 + y2)2 ≥ 4(xy)2 với mọi x, y (2). 
Từ (1) và (2) ta có : 
xy + 3 ≥ 4(xy)2 <=> 4t2 - t - 3 ≤ 0 (với t = xy) 
<=> (t - 1)(4t + 3) ≤ 0 
Vậy : t = xy đạt GTLN bằng 1 

Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn \(0\le a\le b\le c\le1\)

Chứng minh rằng \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)

Giải : 

Từ giả thiết ta có : \(\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\Leftrightarrow1-\left(b+c\right)+bc\ge0\Rightarrow bc+1\ge b+c\Rightarrow\frac{a}{bc+1}\le\frac{a}{b+c}\le\frac{a}{a+b}\left(1\right)\)

Tương tự ta cũng có : \(\frac{b}{ac+1}\le\frac{b}{a+c}\le\frac{b}{a+b}\left(2\right)\) ; \(\frac{c}{ab+1}\le c\le1\left(3\right)\)

Cộng (1) , (2) , (3) theo vế ta được : \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a+b}{a+b}+1=2\)

Vậy \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)

ta có : a<= 1 => a-1<=0 

          b<=1 => b-1<=0  

=> (b-1)(a-1) >= 0 => ab-a-b+1 >=0 => ab+1>=a+b => 2ab+1>= a+b ( vì ab>=0) 

=> 2ab+1+1>= a+b+c  ( vì 1>= c) 

2ab+2>=a+b+c => 1/2ab+2<=1/a+b+c c/ab+1<= 2c/a+b+c

chứng minh tương tự ta có b/ac+1 <= 2b/a+b+c ;   a/bc+1<= 2a/a+b+c 

=> a/bc+1+b/ac+1 + c/ab+c <= 2a+2b+2c / a+b+c = 2 ( đpcm )

Cho n\(\in\)N*.CMR:

\(\frac{1}{n}.\left(1+...+n\right)=\frac{n+1}{2}\)

Ta có công thức:1+2+3+.....+n=\(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)

Thật vậy:\(\frac{1}{n}.\left(1+2+.....+n\right)=\frac{n+1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{n}.\frac{n.\left(n+1\right)}{2}=\frac{n+1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{n.\left(n+1\right)}{n.2}=\frac{n+1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2}\)(đúng)

Thay vào ta có:\(1+\frac{1}{2}.\left(1+2\right)+.......+\frac{1}{16}.\left(1+2+3+....+16\right)\)

=\(1+\frac{2+1}{2}+.....+\frac{16+1}{2}\)

=\(1+\frac{3}{2}+.......+\frac{17}{2}\)

=\(\frac{2+3+....+17}{2}\)

=\(\frac{152}{2}\)

=76

\(A=1+\frac{1}{2}\cdot\left(1+2\right)+\frac{1}{3}\cdot\left(1+2+3\right)+...+\frac{1}{16}\cdot\left(1+2+3+...+16\right).\)

Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là: \(1+2+3+...+n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}\). 

\(A=\frac{2}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2\cdot3}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3\cdot4}{2}+...+\frac{1}{16}\cdot\frac{16\cdot17}{2}.\)

\(=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\frac{4}{2}+...+\frac{17}{2}\)

\(=-\frac{1}{2}+\frac{1+2+3+4+...+17}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\frac{17\cdot18}{2}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{153}{2}=\frac{152}{2}=76\)

Đ/S A = 76

À, cái câu thứ 2 tui cũng đang cần :((
 

Lớp 7 thì tui chịu

tui mới lớp 6

\(xy=x+y+9999999\)

<=> \(xy-x-y=9999999\)

<=> \(x\left(y-1\right)-y+1-1=9999999\)

<=> \(\left(y-1\right)\left(x-1\right)=10000000\)

<=> x-1 và y-1 là ước của 10000000.

\(xy=x+y+999999999\Leftrightarrow xy-x-y+1=999999999+1\)

\(\Leftrightarrow x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=10^{10}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=2^{10}\cdot5^{10}\)(1)

Nhận xét rằng: Nghiệm của (1) là x, y nguyên dương khác 1. Khi đó \(x-1\ge1;y-1\ge1\), để thỏa mãn (1) thì (x-1) và (y-1) là ước nguyên dương của \(2^{10}\cdot5^{10}\). Số cặp số nguyên dương (x;y) Thỏa mãn phương trình là số ước nguyên dương của \(2^{10}\cdot5^{10}\).

Mà \(2^{10}\cdot5^{10}\)có số ước nguyên dương là (10+1)*(10+1)=121. Vậy số cặp nguyên dương (x;y) thỏa mãn đề bài là: 121 cặp.

A B C D I K

• Trên BD lấy điểm K sao cho BK = BC. Nối CK cắt BA tại I.
• Tam giác ABC cân tại A có góc A = 100 độ nên góc ABC = ACB = 40 độ.
• Tam giác BCK có BC = BK (theo dựng hình) nên cân tại B có góc CBK = 1/2 ABC = 20 độ. Nên góc BCK = BKC = 80 độ.
• Góc ACB = 40 độ = 1/2 góc BCK nên CD là phân giác góc BCK.
• Trong tam giác IBC có góc IBC = 40 đô; ICB = 80 độ => góc CIB = 60 độ.
• Tam giác IBC có đường phân giác BK và CA cắt nhau tại D nên D làm giao 3 đường phân giác của tam giác IBC => ID cũng là phân giác góc CIB. => AID=1/2CIB = 30 độ.
• Tứ giác AIKD có góc ngoài CAB = 100 độ bằng góc trong không kề với nó là góc IKD ( IKD = 180 - DKC = 100) nên tứ giác AIKD là tứ giác nội tiếp.
• Trong tứ giác nội tiếp AIKD có góc AID = góc AKD (vì cung chứa góc cùng nhìn cạnh AD). => góc AKD = AID = 30 độ.
• Tam giác BDC và ADK đối đỉnh tại D nên tổng: góc DAK+AKD = DCB+DBC = 60 độ. mà AKD = 30 độ => DAK = 30 độ => tam giác DAK cân tại D => AD = DK.
• Mà BC = BK = BD + DK = BD + AD ( đpcm).

Câu A 

A B C M D G E

Bài này ta sẽ tạo 2 đoạn có cùng độ dài với AD và BD

-Trên BC lấy điểm G sao cho BG=AB

-Trên BC lấy điểm E sao cho BD=BE (6)

-Tam giác BAD=tam giác BGD (c.g.c) nên

AD=GD (cặp cạnh tương ứng)

BAD=BGD=100 độ (cặp góc tương ứng) . Mà BGD và DGC kề bù nên DGE= 180 độ - BGD= 180 độ - 100 độ= 80 độ (1)

ADB=BDG= 60 độ (cặp góc tương ứng) (2)

Mặt khác, ta có tam giác BDE cân tại B nên BDE=BED= (180 độ - DBG)/2= (180 độ - 20 độ)/2= 80 độ (3)

Từ (2) và (3) suy ra EDC= 180 độ - 60 độ - 80 độ= 40 độ. Mà DCE=40 độ. => Tam giác ECD cân tại E

=> Góc DEC= 180 độ - 40 độ.2= 80 độ (4)

Từ (1) và (4) suy ra DGE=DEG= 80 độ thì tam giác DEG cân.=> DG=DE. Mà DG=EC (do tam giác ECD cân), AD=DG (cmt) => AD=EC (5)

Từ (6) và (5) suy ra: BC=BE+EC=BD+AD

b/

Giả thiết cho AM=BC nên chắc chắn có mối tương quan đến góc AMC cần đi tìm. Vì vậy ta sẽ tìm cách để xét 2 tam giác bằng nhau vì đã có BC=AM. Để tạo ra được điều này, ta sẽ vận dụng những cách chứng minh đã học. Bạn có thể thấy tam giác cân và vừa rồi ta chứng minh đã phát hiện ra 1 số góc 60 độ. Do đó ta sẽ vẽ tam giác đều ở vị trí hợp lí. Chắc chắn có liên quan AM nên tạo tam giác đều AMH.

A B C M D G E H

Vẽ tam giác đều AMH. suy ra AM=AH. Mà AM=BC (gt) nên BC=AH

Vì góc MAH=60 độ (do tam giác AMH đều) nên CAH=100 độ - 60 độ= 40 độ

Xét tam giác BAC và tam giác CAH: AC chung. ACB=CAH=40 độ. AH=BC(cmt)

=> Tam giác BAC=tam giác CAH (c.g.c) => CHA=ACB=40 độ => CH=AC (cặp cạnh tương ứng)

Xét tam giác AMC và tam giác HMC:

AM=MH( tam giác AMH đều)

MC chung

AC=CH(cmt)

=> Tam giác AMC=tam giác HMC (c.c.c) =>. AMC=HMC(cặp góc tương ứng)

=> MC là tia phân giác góc AMH

=> AMC=60 độ : 2= 30 độ

Dùng tính chất tỉ lệ thức: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+b+c}{b+d+f}\left(b+d+f\ne0\right)\) 
Xét trường hợp \(x+y+z=0\), ta có :
\(\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}=0\) 

\(\Rightarrow x=y=z=0\) 
Xét \(x+y+z=0\), tính chất tỉ lệ thức: 
\(x+y+z=\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}=\frac{x+y+z}{2x+2y+2z}=\frac{1}{2}\) 
\(\Rightarrow x+y+z=\frac{1}{2}\), ta có:

•  \(2x=y+z+1=\frac{1}{2}-x+1\Rightarrow x=\frac{1}{2}\) 
•  \(2y=x+z+1=\frac{1}{2}-y+1\Rightarrow y=\frac{1}{2}\) 
•  \(2z=\frac{1}{2}-\left(x+y\right)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\) 

Vậy có căp \(x;y;z\) thỏa mãn: \(\left(0;0;0\right)\) và \(\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)\) 

Tổng các góc ngoài của một tam giác là :

180 độ

tổng các góc =180⁰ bấm đúng nhé

X= 7 => 

\(P=\left(x-4\right)^{\left(x-5\right)^{\left(x-6\right)^{\left(x+6\right)^{\left(x+5\right)}}}}=\left(7-4\right)^{^{\left(7-5\right)^{\left(7-6\right)^{\left(7+6\right)^{\left(7+5\right)}}}}}\)

-> P= \(3^{2^{1^{13}}}\)

Tạch máy tính  ta đc : 9

Thay x = 7 vào P , ta được P = (7 - 4)^(7 - 5)^(7 - 6)^(7 + 6)^(7 + 5) = 3^2^1^13^12 = 3^2 x 1^13^12 = 9 x 1 = 9

Vậy P = 9