Xét \(M=\left(2a+1\right)^2+\left(2a+3\right)^2=4a^2+4a+1+4a^2+12a+9=8a^2+16a+10.\)

\(M=8\left(a+1\right)^2+2=2\left(4\left(a+1\right)^2+1\right)\)

4(a + 1)² + 1 là 1 số lẻ => M chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4.

Hay M khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì thừa số 2 có số mũ lẻ (=1) nên M không phải là số chính phương.

=> \(\sqrt{M}\)là số vô tỷ, hay \(\sqrt{M}\in I\)đpcm

khó thế

Thay 105 = abc

\(M=\frac{abc}{a\left(bc+b+1\right)}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{a}{ab+a+abc}.\)a không thể = 0 vì tích abc = 105

\(M=\frac{bc}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{1}{b+1+bc}=\frac{bc+b+1}{bc+b+1}=1.\)vì bc+b+1 khác 0.

Nếu bạn thử thế số vào luôn thì sẽ dể làm hơn đó

vì ta có a.b.c= 105 nên a,b,c khác 0

ta có a.b.c=3.5.7=105

=> ta có a=3, b=5, c=7. Sau đó bạn thế số vào nhé

Nhận xét:

\(2+2^2+2^3+...+2^n=2\left(1+2+2^2+...+2^{n-1}\right)=2\left(2^n-1\right)=2^{n+1}-2\)

\(2^2+2^3+2^4+...+2^n=2^2\left(1+2+2^2+...+2^{n-2}\right)=2^2\left(2^{n-1}-1\right)=2^{n+1}-2^2\)

Tương tự

\(2^3+2^4+2^5+...+2^n=2^{n+1}-2^3\)

...

\(2^n=2^{n+1}-2^n\)

Cộng vế với vế ta được:

\(2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+4\cdot2^4+...+n\cdot2^n=n\cdot2^{n+1}-\left(2+2^2+2^3+...+2^n\right)=n\cdot2^{n+1}-2^{n+1}+2\)

\(\Rightarrow2\cdot2^2+3\cdot2^3+4\cdot2^4+...+n\cdot2^n=\left(n-1\right)\cdot2^{n+1}\)(1)

Theo giả thiết thì VT(1) = 2ⁿ⁺¹⁰. Ta có:

\(2^{n+10}=\left(n-1\right)\cdot2^{n+1}\Leftrightarrow2^{n+1}\cdot2^9=\left(n-1\right)\cdot2^{n+1}\Leftrightarrow n-1=2^9\Leftrightarrow n=2^9+1\)

Vậy, n = 2⁹ + 1.

(Đề bài thì hay mà bạn đánh câu hỏi cẩu thả quá! :D). 

Đinh Thùy Linh ơ đề bài bảo tìm x mà

n²+(n+1)²+n²(n+1)²

=n²(n²+2n+1+1)+(n+1)²

=n⁴+2(n+1)n²+(n+1)²

=(n²+n+1)²

n²+n+1=n(n+1)+1

n(n+1) là số chẵn=>n²+n+1 là số lẻ

=>(n²+n+1)² là số chính phương lẻ

=>n²+(n+1)²+n²(n+1)² là số chính phương lẻ

=>đpcm

Mình nghĩ là Người B sẽ thắng vì nếu A đọc 1 thì B đọc 2;3 => sau mỗi lần đọc sẽ có 3 số đc đọc ra

Mà 21 : 3 = 7 (ko dư) => số 21 sẽ được đọc thứ 3 lần thứ 7 mà A lại đọc lần 1 còn B thì đọc lần 2 và 3

=> B là người chiến thắng 

 Cách để chiến thắng là đọc số thứ 3 trong mỗi lần! (nhưng chỉ khi chơi đọc 3 số 1 lần thui còn 4 thì đọc lần 1 thắng, 5 thì đọc lần 1 thắng,...)

Cái này là do mk nghĩ thui nha còn mấy bạn khác thì mk ko biết!

Bài toán rất hay và ý nghĩa

Cậu tự nghĩ à 

• Với \(n=3\Rightarrow A=2^3+3^2=17\) là số nguyên tố (nhận)
• Vói \(n\ge5\) \(\Rightarrow A=\left(2^n+1\right)+\left(n^2-1\right)=\left(2^n+1\right)+\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(2\equiv-1\left(mod3\right)\)\(\Rightarrow2^n\equiv\left(-1\right)^n\left(mod3\right)\) Mà n là số nguyên tố nên n lẻ => \(2^n+1⋮3\) (1)

Mặt khác : Trong ba số nguyên liên tiếp : (n-1) , n , (n+1) ắt sẽ có một số chia hết cho 3 . Vì n là số nguyên tố , \(n\ge5\) nên một trong hai số (n-1) , (n+1) chia hết cho 3 . Do đó \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(A⋮3\)=> A không phải là số nguyên tố

Vậy loại trường hợp này.

• Với n = 2 => A = 8 là hợp số. (loại)

Vậy n = 3 thoả mãn đề bài.

+ Với n = 2, ta có: A = 2² + 2² = 4 + 4 = 8, không là số nguyên tố, loại

+ Với n = 3, ta có: A =  2³ + 3² = 8 + 9 = 17, là số nguyên tố, chọn

+ Với n nguyên tố > 3 => n lẻ => n = 2k + 1 (k thuộc N*)

=> 2ⁿ = 2^2k+1 = 2^2k.2 = (2^k)².2

Do (2;3)=1 => (2^k,3)=1 => 2^k  không chia hết cho 3 => (2^k)²  không chia hết cho 3

=> (2^k)² chia 3 dư 1; 2 chia 3 dư 2 => (2^k)².2 chia 3 dư 2

=> 2ⁿ chia 3 dư 2 (1)

Do n nguyên tố > 3 => n không chia hết cho 3 => n²  không chia hết cho 3

=> n² chia 3 dư 1 (2)

Từ (1) và (2) => A = 2ⁿ + n² chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < 2ⁿ + n² => A = 2ⁿ + n²  là hợp số, loại

Vậy n = 3 thỏa mãn đề bài

mk mới hok jop 6 à

có \(\left|a\right|< 1\),\(\left|b-1\right|< 10\)suy ra \(\left|a\right|.\left|b-1\right|< 10\Rightarrow\left|a\left(b-1\right)\right|< 10\Leftrightarrow\left|ab-a\right|< 10\)
                                                                                                                                      \(\Leftrightarrow-10< ab-a< 10\)(1)
có \(\left|a-c\right|< 10\Leftrightarrow-10< a-c< 10\)(2)
 cộng lần lượt các vế của (1) và (2) ta có \(-10+\left(-10\right)< ab-a+a-c< 10+10\Leftrightarrow-20< ab-c< 20\)
 suy ra \(\left|ab-c\right|< 20\)

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.>>>>>>>>........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

??????????????????????????????????????????????????????/

cô gợi ý em nhé !
Gọi 2004 số đó lần lượt là : \(a_1,a_2,a,_3......,a_{2004}\)
ta có \(a_1a_{ }_2a_3< 0,a_2a_{ }_3a_4< 0,a_1_{ }a_4a_5< 0\Rightarrow\left(a_{ }_1a_{ }_2a_3\right)\left(a_2_{ }a_{ }_3a_4\right)\left(a_{ }_1_{ }a_{ }_4a_5\right)< 0 \)
   \(\Leftrightarrow\left(a_1\right)^2\left(a_2\right)^2\left(a_3\right)^2.a_5< 0\Rightarrow a_{ }_5< 0\)
Tương tụ như vậy chúng ta sẽ chứng minh các số còn lại nhỏ hơn 0.

vậy tích của 2004 số đó dương (tích của một số chẵn các số âm ).
        

Tôi không biết

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=a+c\\2c=a+b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=2+2+2=6\)

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\a+c=2b\\a+b=2c\end{cases}}\)

Ta có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=a+b+c\)