Ta có 

\(ab\left(a^2+b^2\right)\left(a^2\:-b^2\right)=a^5b\:\:-ab^5\)

\(=a^5b-ab+ab-ab^5\)

\(=ab\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)+5ab\left(a-1\right)\left(a+1\right)-ab\left(b-1\right)\left(b+1\right)\left(b-2\right)\left(b+2\right)-5ab\left(b-1\right)\left(b+1\right)\)

Ta thấy rằng ab(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) và ab(b - 1)(b + 1)(b - 2)(b +2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 30 (1)

Ta lại có: ab(a - 1)(a + 1) và ab(b -1)(b +1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.

\(\Rightarrow\) 5ab(a - 1)(a + 1) và 5ab(b -1)(b +1) chia hết cho 30 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh

kho qua di

A B C D E

Xét \(\Delta AEB\)và \(\Delta DEC\)có

\(\hept{\begin{cases}\widehat{AEB}=\widehat{DEC}\\\widehat{BAE}=\widehat{CDE}\left(gt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta AEB\approx\Delta DEC\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}\)

\(\Rightarrow EA.EC=DE.BE\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta DBA\)có

\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAE}=\widehat{BDA}\left(gt\right)\\\widehat{ABE}\left(chung\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ABE\approx\Delta DBA\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{DB}=\frac{BE}{AB}\)

\(\Rightarrow AB^2=DB.BE\left(2\right)\)

Theo đề bài ta cần chứng minh

\(BE^2=AB^2-EA.EC\)

\(\Leftrightarrow BE^2=AB^2-DE.BE\)(theo (1))

\(\Leftrightarrow BE\left(BE+DE\right)=AB^2\)

\(\Leftrightarrow BE.BD=AB^2\) (Theo (2) thì cái này đúng)

Vậy ta có ĐPCM

bạn có thể gửi hình vào facebook của mình https://www.facebook.com/maximilian.mark.16 để mình giải thử cho bạn

Gợi ý cách làm:

Vì c nguyên tố nên \(c\in\left(2,3,5,7\right)\)

Thay c = 2 vào ta được

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\) ta giả sử \(a\ge b\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{b}\)

\(\Rightarrow0< b\le4\Rightarrow b\in\left(1,2,3,4\right)\)

Thế vào tìm được a. Cứ vậy làm hết bài

đúng rồi

Ta có:

\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x+1}{4x}\ge\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+x}\ge\frac{3}{4x}-\frac{1}{4}\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y^2+y}\ge\frac{3}{4y}-\frac{1}{4}\left(2\right)\\\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4z}-\frac{1}{4}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\)

\(\ge\frac{3}{4}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Vậy GTNN là  \(P=\frac{3}{2}\)đạt được khi \(x=y=z=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=9\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có: 

\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+x+y^2+y+z^2+z}\)

\(=\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Đẳng  thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Lười làm quá. Chơi phân tích nhân tử luôn

Ta có: \(x^3+3x^2+3x+2=-\sqrt[3]{x^3-8x-8}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+2\right)^3=\left(-\sqrt[3]{x^3-8x-8}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^9+9x^8+36x^7+87x^6+144x^5+171x^4+148x^3+90x^2+28x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x^6+6x^5+16x^4+27x^3+31x^2+24x+14\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x=-1\\x=-2\end{cases}}\)

Ta có:

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2.\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+y^2.\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+z^2.\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)

Vì a, b, c khác 0 nên dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=0\)

\(\Rightarrow M=x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=0^{2016}+0^{2016}+0^{2016}=0\)

dẳng cấp

Sửa lại đề :

Cho \(0\le x\le y\le z\le1\) CMR : \(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2\)

Giải :

Từ \(x\le y\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1\le0\\y-1\le0\end{cases}\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0}\)

\(\Rightarrow xy-x-y+1\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\)

\(\Rightarrow\frac{1}{xy+1}\le\frac{1}{x+y}\Rightarrow\frac{z}{xy+1}\le\frac{z}{x+y}\)\(\left(x\ge0\right)\)

Mà \(\frac{z}{x+y}\le\frac{2z}{x+y+z}\) nên \(\frac{z}{xy+1}\le\frac{2z}{x+y+z}\left(1\right)\)

CM tương tự ta cũng có :\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{yz+1}\le\frac{2x}{x+y+z}\left(2\right)\\\frac{y}{xz+1}\le\frac{2y}{x+y+z}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng các vế của (1) ; (2) ; (3) lại ta được :

\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{2x+2y+2z}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\) (ĐPCM)

\(\)

Bài này chả khó với lại đầy người đăng rồi

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\) và \(b^2+1\ge2b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+b^2+1+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\left(2\right);\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có:

\(VT\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}+\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}+\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{a^2bc+abc+ac}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{ac+a+1}+\frac{a}{ac+a+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\left(abc=1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac+a+1}{ac+a+1}\right)=\frac{1}{2}=VP\) (ĐPCM)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3

Bài này không khó! Sao lại được vào câu hỏi hay?

Ta có: 

\(\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)\left(z^2+9\right)\ge2x.4y.6z=48xyz\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)

Thế vào A ta được:

\(A=\frac{x^3+y^3+z^3}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1^3+2^3+3^3}{\left(1+2+3\right)^2}=1\)  

bằng 1 mk làm rùi

Ta có:

\(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)

\(\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{49}{16}\)

Dấu bằng xảy ra khi  

\(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}\)  

hahaha hoa tọa cx phải dj hỏi hả