Lời giải của Trương Nhật Minh

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông và cũng là gốc tọa độ trong hệ Oxy.

Đường tròn nội tiếp hình vuông nhận O(0;0) làm tâm và có bán kính bằng 5. (TÌm bán kính có nhiều cách)

Phương trình đường tròn nội tiếp hình vuông là:  \(x^2+y^2=5^2\)

Cung tròn phía trên trục Ox là cung của đường tròn có tâm có tọa độ\(\left(0;-5\sqrt{2}\right)\)  và bán kính bằng 10.(Tìm tọa độ tâm thì ta tính độ dài đường chéo hình vuông)

Phương trình đường tròn này là: \(x^2+\left(y+5\sqrt{2}\right)^2=10^2\)

Giao điểm của đường tròn nội tiếp hình vuông và cung tròn này là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5^2\\x^2+\left(y+5\sqrt{2}\right)^2=10^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5^2\\\left(y+5\sqrt{2}\right)^2-y^2=75\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5^2\\10\sqrt{2}y+50=75\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\sqrt{\dfrac{175}{8}}\\y=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right.\)

Biến đổi phương trình đường tròn theo y.

Gọi S là diện tích phần tô màu xanh, ta có:

\(\dfrac{S}{4}=\int_0^{\sqrt{\dfrac{175}{8}}}\sqrt{\left(5^2-x^2\right)}-\left(\sqrt{\left(10^2-x^2\right)}-5\sqrt{2}\right)dx\\ =\int_0^{\sqrt{\dfrac{175}{8}}}\sqrt{\left(5^2-x^2\right)}dx-\int_0^{\sqrt{\dfrac{175}{8}}}\sqrt{\left(10^2-x^2\right)}dx+\int_0^{\sqrt{\dfrac{175}{8}}}5\sqrt{2}dx\)
Sử dụng công thức:

\(\int_{ }^{ }\sqrt{\left(a^2-x^2\right)}dx=\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2arcsin\dfrac{x}{a}\right)+C\)

Ta được:

\(\dfrac{S}{4}=\left(\dfrac{25\sqrt{7}}{16}+\dfrac{25}{2}arcsin\dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{2}}}{2}\right)-\left(\dfrac{125\sqrt{7}}{16}+50arcsin\dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{2}}}{4}\right)+5\sqrt{2}.\sqrt{\dfrac{175}{8}}\\ =\dfrac{25\sqrt{7}}{4}+\dfrac{25}{2}arcsin\dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{2}}}{2}-50arcsin\dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{2}}}{4}\\ \Rightarrow S=25\sqrt{7}+50arcsin\dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{2}}}{2}-200arcsin\dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{2}}}{4}\approx29,276cm^2\)

Đs: S = 29,276 cm²