Lời giải của Lê Song Phương

Gọi số bài thi của anh Đức trong năm đầu tiên, thứ hai, thứ ba, thứ tư và thứ năm lần lượt là \(3x,y,z,t,x\) với \(x,y,z,t\inℕ^∗\) và \(3x>y>z>t>x\). Theo đề bài, ta có \(4x+y+z+t=33\) hay \(y+z+t=33-4x\)

Từ điều kiện \(y>z>t>x\) ta suy ra được \(y+z+t>3x\), tức \(33-4x>3x\Leftrightarrow7x< 33\Leftrightarrow x< \dfrac{33}{7}\Rightarrow x\le4\)

Nếu \(x=4\) thì \(y+z+t=17\Rightarrow z=17-y-t\). Với chú ý rằng \(3x>y>z>t>x\Rightarrow\) \(11\ge y>z>t\ge5\), điều này có nghĩa là \(y+t\ge12\), dẫn đến \(z=17-y-t\le5\) (vô lí do \(z>5\))

Nếu \(x=3\) thì \(y+z+t=21\Rightarrow z=21-y-t\). Với chú ý rằng \(3x>y>z>t>x\Rightarrow\)\(8\ge y>z>t\ge3\),  từ đó\(y+t\le14\Rightarrow z=21-y-t\ge7\) ,mà \(z\le7\) \(\Rightarrow z=7\). Từ đây ta suy ra được \(y+t=14\). Mặt khác \(8\ge y>7\Rightarrow y=8\Rightarrow t=6\). Thử lại, ta thấy \(4x+y+z+t=4.3+8+7+6=33\) (nhận)

Nếu \(x=2\) thì \(y+z+t=25\)\(\Rightarrow z=25-y-t\). Với chú ý \(3x>y>z>t>x\Rightarrow5\ge y>z>t\ge2\), dẫn đến \(y+t\le8\) \(\Rightarrow z=25-y-t\ge17\) (vô lí do \(z< 5\))

Nếu \(x=1\) thì \(y+z+t=29\Rightarrow z=29-y-t\). Chú ý rằng \(3x>y>z>t>x\Rightarrow2\ge y>z>t\ge2\) (vô lí)

Ta chỉ tìm được 1 giá trị duy nhất là \(z=7\). Vậy năm thứ ba, anh Đức phải làm 7 bài thi.