Lời giải của Trương Nhật Minh

Gọi a là độ dài hình vuông màu xanh, diện tích hình vuông xanh bằng \(S_{xanh}=a^2\)

Bán kính hình tròn bằng \(\dfrac{\sqrt{a^2+a^2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\)

Gọi b là độ dài hình vuông màu cam, diện tích hình vuông cam bằng \(S_{cam}=b^2\)

O là tâm hình tròn; E là trung điểm của DB

Ta có OE \(\perp\) DB (tam giác ODB cân nên đường trung tuyến OE cũng là đường cao)

=> OE = \(\dfrac{a}{2}\)

Kéo dài OE cắt GH tại F

Vì DB song song với GH nên OF vuông góc với GH tại F

Tam giác OGH cân tại O (OG = OH bằng bán kính hình tròn)

Suy ra OF cũng là đường trung tuyến của tam giác OGH => FG = \(\dfrac{b}{2}\)

Áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông OFG ta có:

(OE + EF)² + FG² = OG²

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{2}+b\right)^2+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2=\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2}{4}+ab+b^2+\dfrac{b^2}{4}=\dfrac{a^2}{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{5b^2}{4}+ab-\dfrac{a^2}{4}=0\\ \dfrac{5}{4}+\dfrac{a}{b}-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=-1Loại\\\dfrac{a}{b}=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{S_{xanh}}{S_{cam}}=25.\)đpcm