Lời giải của Trần Quốc Dũng

Kẻ hình như sau

Ta có BC = 4 - r

          BF = 4 + r

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác BCF ta có

 \(\left(4+r\right)^2=\left(4-r\right)^2+CF^2\)

\(\Leftrightarrow16+8r+r^2=16-8r+r^2+CF^2\)

\(\Leftrightarrow CF^2=16r\)

\(\Rightarrow CF=4\sqrt{r}\)

Lại có ED = 2 - r

          FE = 2 + r

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác FED ta có

\(\left(2+r\right)^2=\left(2-r\right)^2+FD^2\)

\(\Leftrightarrow4+4r+r^2=4-4r+r^2+FD^2\)

\(\Leftrightarrow FD^2=8r\)

\(\Rightarrow FD=\left(2\sqrt{2}\right)\sqrt{r}\)

Mà \(AB=4\sqrt{r}+\left(2\sqrt{2}\right)\sqrt{r}=\sqrt{r}\left(4+2\sqrt{2}\right)\)

Ta có \(BE=4+2=6\)

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABE ta có

\(36=r\left(4+2^{ }\sqrt{2}\right)^2+4\)

Giải phương trình =>  \(r=12-8\sqrt{2}\)