Hải là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp. Mỗi ngày anh ra sân ít nhất 1 lần và mỗi tuần ra sân không quá 13 lần. Chứng minh rằng tồn tại một số ngày liên tiếp anh ra sân tổng cộng 20 lần.

--------

Các bạn nhấn vào nút Tham dự bài thi bên dưới để trình bày lời giải đầy đủ của mình. Mười bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 2 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 25/6/2021. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 25/6/2021.

-------

Đáp án:

Gọi số lần ra sân của anh Hải ngày thứ nhất, ngày thứ hai, ..., ngày thứ hai mươi là \(a_1;a_2;...a_{30}.\)

Xét 20 tổng: 

\(S_1=a_1,\)

\(S_2=a_1+a_2,\)

\(S_3=a_1+a_2+a_3,\)

...

\(S_{20}=a_1+a_2+...+a_{20}.\)

Vì trong 20 ngày anh ra sân không quá 3.13 = 39 lần nên ta có:

\(1\le S_1< S_2< ...< S_{20}< 39.\)

+) Nếu trong 20 tổng trên có tổng chia hết cho 20 thì giá trị của tổng đó là 20, bài toán đã được chứng minh.

+) Nếu trong 20 tổng trên không có tổng nào chia hết cho 20 thì theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 tổng có cùng số dư khi chia cho 20, chẳng hạn là \(S_m\) và \(S_n\) \(\left(1\le m< n\le20\right)\)

Khi đó \(\left(S_m-S_n\right)⋮20\) hay \(S_m-S_n=20.\)

Suy ra \(a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_n=20.\) (đpcm)