Cho bảng gồm các ô vuông kích thường 5 x 100 (bảng gồm 5 hàng, 100 cột). Người ta tô màu \(x\) ô vuông đơn vị của bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị của bảng có nhiều nhất 2 ô vuông kề với nó được tô màu (hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chung có một cạnh chung).
Tìm giá trị lớn nhất của \(x\).
-------
Các bạn nhấn vào nút Tham dự bài thi bên dưới để trình bày lời giải đầy đủ của mình. Mười bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 2 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 4/6/2021. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 4/6/2021.
--------
Đây là một bài toán khó, thật tiếc chưa có bạn nào đưa ra được lời giải chính xác.
Đáp án bài toán như sau:
Gọi a là số các ô được tô màu nằm ở góc bảng, b là số các ô được tô màu nằm trên cạnh của bảng nhưng không ở góc và c là số các ô vuông còn lại.
Khi đó x = a + b + c
Gọi N là số cặp ô (c1;c2) trong đó c1 là ô được tô màu và c2 là ô kề với ô c1.
Chú ý rằng mỗi ô được tô màu ở góc có 2 ô kề, mỗi ô tô màu ở cạnh có 3 ô kề và mỗi ô đen ở vị trí còn lại có 4 ô kề. Ta có:
N = 2a + 3b + 4c.
Rõ ràng a \(\le\) 4 và b \(\le\) 202.
Do đó N = 4(a + b + c) - (2a + b) \(\ge\) 4(a + b + c) - (2.4 + 202) = 4x - 210.
Mặt khác, do mỗi ô vuông của bảng có tối đa 2 ô được tô màu kề với nó nên ứng với mỗi ô vuông sẽ cho tương ứng tối đa 2 cặp (c1;c2) với tính chất như trên.
Do bảng có 500 ô vuông nên N \(\le\) 500.2 = 1000.
Tóm lại, ta có: 1000 \(\ge\) 4x - 210, hay x \(\le\dfrac{605}{2}\).
Vì n là số tự nhiên nên x \(\le\) 302.
Ta có cách tô dưới đây chứng tỏ có thể tô được 302 ô theo yêu cầu:
Vậy x lớn nhất là 302.