Tìm số tự nhiên \(\overline{abc}\) biết \(1+2+3+...+\overline{bc}=\overline{abc}.\)

------------

Các bạn nhấn vào nút Tham dự bài thi bên dưới để trình bày lời giải đầy đủ của mình. Mười bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 2 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 2/4/2021. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 2/4/2021. 

---------

Bài làm của bạn Lê Khánh Loan:

1 + 2 + 3 + ... + bc = abc

Viết theo cấu tạo số ta có: 1 + 2 + 3 + ... + bc = a00 + bc hay 1 + 2 + 3 + ... + (bc - 1) = a x 100

Đây là tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến (bc - 1) nên có (bc - 1) số hạng. Tổng của dãy là:

( 1 + bc - 1) x (bc - 1 ) : 2 = a x 100

(bc - 1) x bc = a x 200

Vì (bc - 1 ) x bc là tích của hai số tự nhiên liên tiếp có 2 chữ số nên ta phân tích a x 200 thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số. Ta thấy:

a x 200 = a x 1 x 200 = a x 2 x 100 = a x 4 x 50 = a x 5 x 40 = a x 8 x 25.

Vì a là chữ số nên a chỉ có thể từ 0 đến 9.

a x 1 x 200 = a x 2 x 100 vì 100 và 200 là số có 3 chữ số nên ta loại.

Ta xét các trường hợp a x 4 x 50 ; a x 5 x 40 và a x 8 x 25 thì chỉ có a = 3 cho ta 3 x 8 x 25 = 24 x 25 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp có 2 chữ số. Vậy a = 3 và bc = 25.

Suy ra số abc = 325. 

Thử lại : 1 + 2 + 3 + ... + 25 = ( 1 + 25 ) x 25 : 2 = 325

Đáp số: abc = 325.