(Dành cho học sinh từ lớp 7 trở lên)
Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1 dm. Ta vẽ 4 hình tròn tâm lần lượt là A, B, C, D với bán kính đều là 1 dm. Bốn hình tròn có phần chung là MNPQ như hình vẽ. Tính diện tích phần chung MNPQ (phần gạch chéo trong hình).
A A B C D M N P Q
Bạn trình bày lời giải vào ô Gửi Ý kiến bên dưới. Ba bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Đáp án và giải thưởng sẽ công bố vào Thứ Sáu ngày 4/12/2015. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Bảy ngày 5/12/2015.
Tính đến 4/12/2015, chưa có bạn nào có lời giải đúng cho bài toán này. Online Math sẽ kéo dài thêm 1 tuần để nhận lời giải của các bạn và giải thưởng sẽ là 2 tháng VIP cho bạn nào có đáp án đúng đầu tiên.
---------------------------
Sau 2 tuần, không có bạn nào có lời giải đúng. Các bạn tham khảo đáp án phía dưới.
---------------------------
Xem đáp án
Đáp án
B1) Ta sẽ bắt đầu từ việc tính phần diện tích hình AMNPD ở dưới như sau:
A A B C D M N P 60
Ta có nhận xét: AD = AN = DN = 1 => Tam giác NAD là tam giác đều => góc NAD = 60o.
=> Diện tích hình quạt ANPDA bằng 60/360 = 1/6 diện tích hình tròn tâm A (vì cả hình tròn tương ứng với góc ở tâm là 360o, hình quạt có góc ở tâm 60o sẽ bằng 1/6 diện tích hình tròn)
Vậy diện tích hình quạt ANPDA = \(\frac{\pi}{6}\)
Diện tích tam giác đều NAD có cạnh bằng 1 là: \(\frac{1}{2}.1.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\) (vì đáy bằng 1 và đường cao bằng \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
=> Diện tích DNPD (chắn bới dây DN và cung NPD) = diện tích ANPDA - diện tích tam giác NAD = \(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Do tính đối xứng, diện tích ANMA cũng băng \(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Suy ra diện AMNPDA = diện tích ANMA + diện tích tam giác NAD + diện tích DNPD
= \(\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\)
= \(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)
B2) Tính diện tích BNCB (phần gạch trong hình dưới)
A A B C D M N P Q
Ta có: [ABNPDA] + [ DAMNCD] - [ABCD] = [AMNPDA] - [BNCB] (kí hiệu [ ... ] là diện tích)
=> \(\frac{\pi}{4}\) + \(\frac{\pi}{4}\) - 1 = [\(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)] - [BNCB]
=> [BNCB] = \(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+1=1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}\)
Theo tính chất đối xứng thì các hình tương tự [BMAB] cũng có điện tích như [BNCB]
B3) Tính diện tích hình BMNB (hình gạch chéo bên dưới)
A A B C D M N P Q
Ta có: [BAMNCB] = [ABCD] - [DAMNCD] = 1 - \(\frac{\pi}{4}\)
=> [BMNB] = [BAMNCB] - [BAMB] - [BNCB]
= [ \(1-\frac{\pi}{4}\)] - [ \(1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}\)] - [ \(1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}\)]
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\frac{\pi}{12}\)
Do tính đối xứng, [DQPD] cũng bằng giá trị trên.
B4) Tính diện tích [MNPQ] (phần gạch chéo phía dưới):
AABCDMNPQ
Ta có: [BMQDPNB] = [CBMQDC] + [ABNPDA] - [ABCD]
= \(\frac{\pi}{4}\) + \(\frac{\pi}{4}\) - 1
= \(\frac{\pi}{2}-1\)
[MNPQ] = [BMQDPNB] - [BMNB] - [DQPD]
= [ \(\frac{\pi}{2}-1\)] - [ \(\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\frac{\pi}{12}\)] - [ \(\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\frac{\pi}{12}\)]
= \(\frac{\pi}{3}+1-\sqrt{3}\)
\(\approx0,313\) (dm2)
ĐS: 0,313 dm2
