Xác định điều kiện tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện liên quan giá trị nhỏ nhất, lớn nhất SVIP

Hướng dẫn giải:

Phương trình có nghiệm khi $\Delta '=2m \ge 0$ hay $m\ge 0$.

Khi đó theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=2(m+1)$; $x_1.x_2=m^2+1$

Suy ra $A=x_{1}^2+x_2^2-x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=4(m+1)^2-3(m^2+1)=m^2+8m+1\ge 1$ với mọi $m\ge 0$.

Vậy $m=0$.

Hướng dẫn giải:

Phương trình $x^2-2(m-3)x-6m-7=0$ có $\Delta'=(m-3)^2+6m+7=m^2+16>0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Suy ra phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{aligned} & x_1+x_2=2m-6 \\ & x_1.x_2=-6m-7 \\ \end{aligned} \right.$.

Ta có $C=(x_1+x_2)^2+8x_1x_2$

$=(2m-6)^2+8(-6m-7)$

$=4m^2-24m+36-48m-56$

$=4m^2-72m-20$

$=4(m^2-18m+81)-4.81-20$

$=4(m-9)^2-344 \ge -344,$ với mọi $m \in \mathbb{R}$ (vì $4(m-9)^2 \ge 0,\forall m\in \mathbb{R}$)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m-9=0$ hay $m=9$.

Vậy GTNN của $C$ là $-344$ đạt tại $m=9$.

Hướng dẫn giải:

a) Giải phương trình (1) khi $m=4$.

Thay $m=4$ vào phương trình (1) ta được: $x^2+2x-8=0$

Ta có: $\Delta'=1+8=9=3^2>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=-1+\sqrt{9}=2; \, x_2=-1-\sqrt{9}=-4$.

Vậy phương trình có nghiệm $x_1=2; \, x_2=-4$.

b) Phương trình (1) có: $\Delta =(m-2)^2+32>0$ với mọi $m$ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$.

Khi đó theo Viète ta có: $x_1+x_2=-m+2; \, x_1x_2=-8$

Ta có: $Q=(x_1^2-1)(x_2^2-1)$

$=x_{1}^2x_2^2-(x_{1}^2+x_2^2)+1$

$=x_{1}^2x_2^2-{{(x_1+x_2)}^2}+2x_1x_2+1$

$=64-{{(-m+2)}^2}-16+1=-{{(-m+2)}^2}+49 \le 49$ với mọi $m$.

Vậy GTLN của $Q$ bằng $49$.

Dấu "=" xảy ra khi $m=2$.

Vậy giá trị lớn nhất của $Q$ bằng $49$ đạt được khi $m=2$.

Hướng dẫn giải:

a) Khi $m=3$, phương trình đã cho trở thành: $x^2-6x+5=0$.

Vì $a+b+c=1-6+5=0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_1=1$ và $x_2=5$.

b) Vì $a+b+c=1-2m+2m-1=0$ nên phương trình có nghiệm $x_1=1$ và $x_2=2m-1$ với mọi giá trị của $m$.

Ta có: $A=\dfrac{4(x_1x_2+1)}{x_{1}^2+x_2^2+2(2+x_1x_2)}=\dfrac{4(x_1x_2+1)}{(x_1+x_2)^2+4}=\dfrac{4(2m-1+1)}{(2m-1+1)^2+4}=\dfrac{8m}{4m^2+4}=\dfrac{2m}{m^2+1}$

Lại có: $(m+1)^2\ge 0,$ với mọi $m$

$2m \ge -(m^2+1)$ với mọi $m$

$\dfrac{2m}{(m^2+1)} \ge -1$  với mọi $m$

Suy ra $A \ge -1$ với mọi $m$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m=-1$.

Suy ra $A$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ khi $m=-1$.

Hướng dẫn giải:

a) Xét $a.c=-m^2+m-2=-(m-\dfrac12)^2-\dfrac{3}{4}<0,$ với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi $m$.

b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là $x_1, \, x_2$.

Theo câu a) thì $x_1x_2\ne 0$, do đó $A$ được xác định với mọi $x_1, \, x_2$.

Do $x_1, \, x_2$ trái dấu nên $\Big(\dfrac{x_1}{x_2}\Big)^3=-t$ với $t>0$, suy ra $\Big(\dfrac{x_2}{x_1}\Big)^3<0$, suy ra $A<0$

Đặt $\Big(\dfrac{x_1}{x_2}\Big)^3=-t$, với $t>0$, suy ra $\Big(\dfrac{x_2}{x_1}\Big)^3=-\dfrac{1}{t}$.

Khi đó $A=-t-\dfrac{1}{t}$ mang giá trị âm và $A$ đạt giá trị lớn nhất khi $-A$ có giá trị nhỏ nhất.

Ta có $-A=t+\dfrac{1}{t}\ge 2$, suy ra $A\le -2$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $t=\dfrac{1}{t}$

$t^2=1$

$t=\pm 1$

Vì $t>0$ nên $t=1$

Với $t=1$, ta có $\Big(\dfrac{x_1}{x_2}\Big)^3=-1$

$\dfrac{x_1}{x_2}=-1$

$x_1=-x_2 $

$ x_1+x_2=0 $

$-(m-1)=0$

$m=1$.

Vậy với $m=1$ thì biểu thức $A$ đạt giá trị lớn nhất là $-2$.

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình có nghiệm khi $\Delta '=1-(2-m)=m-1\ge 0$

$m\ge 1$

b) Với $m\ge 1$ ta có $x_1+x_2=2; \, x_1.x_2=2-m$ (định lí Viète).

Khi đó $A=x_{1}^2x_2^2+3(x_{1}^2+x_2^2)-4$

$=x_{1}^2x_2^2+3(x_1+x_2)^2-6x_1x_2-4$

$={{(2-m)}^2}+{{3.2}^2}-6(2-m)-4$

$={{(2-m)}^2}-6(2-m)+9-1$

$={{(2-m-3)}^2}-1={{(m+1)}^2}-1$

Do $m\ge 1$ nên $(m+1)^2 \ge 2^2=4$ hay $A\ge 4-1=3$

Dấu bằng xảy ra khi $m=1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ bằng $3$ đạt được khi $m=1$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\Delta'=m^2-(m-2)=m^2-m+2=\Big(m-\dfrac12\Big)^2+\dfrac{7}{4}>0$ với mọi $m$.

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

b) Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=2m; \, x_1.x_2=m-2$

Do $x_2$ là nghiệm của (1) nên $x_2^2-2mx_2+m-2=0$

$x_2^2=2mx_2-m+2$

Do đó $2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2$

$=2m(x_1+x_2)-6x_1x_2-2m+4$

$=2m.2m-6(m-2)-2m+4$

$=4m^2-8m+16=4{{(m-1)}^2}+12\ge 12$.

Suy ra $M\ge \dfrac{-24}{12}=-2$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m=1$.